Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является отображением, широко используемым в теории сигналов. Если - множество сигналов с ограниченной энергией

,

то преобразование Фурье есть отображение в другое множество функций с интегрируемым квадратом

.

Отображение задается следующим образом:

. (1.1.9)

Рис. 1.4. Две функции, имеющие одно и то же преобразование Фурье.

Если подходить строго, то это отображение не взаимно-однозначное, т.к. может существовать две и более функций времени, таких, как показано на рис. 1.4., для которых преобразование Фурье одинаково.

Ясно, что - это отображение «многих в одно». Множество эквивалентности, определяемое преобразованием , содержит функции времени, отличающиеся лишь на конечном множестве точек в любом интервале времени. Такие разрывные сигналы не имеют практического значения, поэтому обычно рассматривают множество эквивалентности как один сигнал. Эта эквивалентность означает равенство почти всюду, и мы не будем различать сигналы и соответствующие им множества эквивалентности, определяемые равенством «почти всюду». Т. е. будем считать, что взаимно-однозначное отображение.

Обратное отображение задается соотношением:

. (1.1.10)

Соотношения (1.1.9) и (1.1.10), взятые вместе, называются парой преобразований Фурье.