Отображения и функционалы

Наиболее общий способ установления отношения между элементами состоит в отображении элементов одного множества на элементы другого.

Отображение – это правило, в соответствии с которым элементу одного множества, скажем , ставится в соответствие элемент другого множества, скажем . Символически отображение обозначается как , что является компактной формой следующего выражения:

. (1.1.8)

Элемент называется образом элемента при отображении . Множество является областью определения отображения, а входящее в множество всех образов элементов из является областью изображений. Если область изображений совпадает с , то говорят, что есть отображение на . Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента

существует только один образ (по определению). Если различным элементам из соответствуют различные изображения в , то отображение взаимно-однозначное.

Пусть, например, есть отображение вида

.

Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.3. В этом случае отношение эквивалентности, соответствующее , разбивает на подмножества сигналов с равной энергией.

Рис. 1.3. Отображение сигналов в действительные числа.