Линейны пространства

Линейное пространство – это множество элементов (называемых векторами), для которых справедливо:

А. Для каждой пары векторов и из рассматриваемого множества существует вектор , принадлежащий этому же множеству и называемый их суммой, такой, что:

1. (коммутативность);

2. (ассоциативность); (1.2.5а)

3. , где - нулевой элемент, единственный в множестве;

4. , причем - единственный в множестве векторов.

Б. Имеется множество элементов, называемых скалярами, которые образуют поле. Операция умножения вектора на скаляр ставит любому скаляру и любому вектору в соответствие вектор , причем

1. (ассоциативность);

2. ,

3. (дистрибутивность); (1.2.5б)

4. (дистрибутивность).

Заметим, что линейное пространство содержит два различных нуля при сложении: один для векторов (нулевой элемент), другой для скаляров.

В теории сигналов обычно рассматриваются линейные пространства с конечными полями скаляров (например бинарные ), поэтому отождествлять поле скаляров с множеством действительных чисел не всегда удобно.

Если в качестве скаляров взяты действительные числа, линейное пространство называется действительным линейным пространством, если комплексные, то комплексным линейным пространством.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией

. (1.2.6)

Множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство. Множество векторов называется линейно независимым, если равенство

(1.2.7)

справедливо только при всех , равных нулю. Другими словами. в линейно независимом пространстве вектор не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов.

Пусть – пространство линейных комбинаций линейно независимых векторов . Тогда каждый вектор в соответствует единственной линейной комбинации векторов - единственному множеству скалярных коэффициентов. При этом является ‑ мерным линейное пространством, множество называют базисом для и говорят, что натянуто на этом базисе. Заметим, что линейное пространство имеет множество базисов, т.к. базисом может служить любое множество линейно независимых векторов.

Например, пусть , , тогда

, (1.2.8)

. (1.2.9)

Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации

, (1.2.10)

где

(1.2.11)