Представление сигналов рядами

Очень часто сигналы представляют приближенно в виде рядов, т.е. как непрерывную счетную последовательность функционалов :

, (1.1.12)

где - некоторый интервал действительной оси, на котором аппроксимация правомерна, - заданное множество сигналов, выбранных независимо от аппроксимируемого сигнала . Знак указывает на то, что ряд дает приближенное представление.

Для примера рассмотрим временной ряд, представляющий собой импульс, имеющий различные смещения по оси времени. Импульс будем называть интерполирующим, если он удовлетворяет условиям и для , как показано на рис. 1.5.

В этом случае будут являться значениями сигнала в моменты времени , т. е.

(1.1.13)

Рис. 1.5. Разложение сигнала по смещенным во времени базисным функциям.

Приближенное представление

. (1.1.14)

В моменты времени будет точное равенство, а в остальные моменты приближение будет тем лучшее, чем медленнее меняется .

Для сигналов с ограниченной полосой согласно теореме Котельникова если выборки делаются с частотой (периодом ), то сигнал будет иметь точное представление рядом

, (1.1.15)

где - верхняя граничная частота, а частота называется частотой Найквиста.

Другим распространенным способом представления сигналов рядом является разложение в ряд Фурье. Если (сигнал с ограниченной длительностью) и (периодический сигнал), то

, (1.1.16)

где - интервал действия сигнала для и период для . Коэффициенты разложения определяются функционалами

(1.1.17)