Множества сигналов

При графическом представлении сигнал изображается сложной совокупностью точек, кривой. Введем более сложное представление - пространство сигналов, в котором каждый сигнал изображается точкой, т. е. как элемент некоторого множества со свойством . Условно это изображается так: , т. е. есть множество всех , для которых выполнено свойство . Вводя дополнительное обозначение, можно записать: , что означает: « верно для всех , принадлежащих ».

Выбор свойства – это сложная задача, т. к. проще работать с «узким» множеством (т. е. малой мощностью), но тогда оно содержит мало полезных сигналов.

Приведем несколько примеров множеств сигналов, наиболее часто используемых на практике:

Гармонические сигналы. Обозначим через множество всех гармонических (синусоидальных сигналов), т. е.

, (1.1.1)

где - множество действительных чисел.

Заметим, что свойство для конкретного множества можно указать в другой форме, например

. (1.1.2)

Периодические сигналы. Будем обозначать через множество периодических сигналов с периодом , т. е.

. (1.1.3)

Ограниченные сигналы. Множество сигналов, мгновенные значения которых ограничены по величине некоторым вещественным положительным числом , обозначаются

. (1.1.4)

При этом очевидно, что если , то

.

Сигналы с ограниченной энергией. О сигналах из множества

, (1.1.5)

говорят, что их энергия ограничена величиной , где - вещественное положительное число. Интеграл в (1.1.5) физически трактуют как энергию, подразумевая, что - напряжение на нагрузочном сопротивлении . Интеграл по времени от квадрата этого напряжения есть полная энергия, выделяющаяся на нагрузке.

Сигналы ограниченной длительности. Пусть - это множество сигналов, которые равны нулю за пределами интервала времени :

. (1.1.6)

Очевидно, что если , то

.

Сигналы с ограниченной полосой. Пусть - это множество сигналов с полосой, ограниченной некоторой частотой , т. е.

, (1.1.7)

где - преобразование Фурье от функции времени .

Рис. 1.2. Двоичная система передачи сигналов, использующая опорный сигнал

при приеме.

Над множествами сигналов, как и над любыми другими множествами возможны различные операции: объединение, пересечение, разбиение, отношение эквивалентности (свойства рефлективность, транзитивность, симметричность).

Например, при приеме двоичных сигналов для увеличения помехоустойчивости используют опорный сигнал для разбиения принятых сигналов на два подмножества и

,

,

где - наперед заданный порог. Приемное устройство в этом случае содержит: умножитель, интегратор, прерыватель и пороговое устройство, как показано на рис. 1.2.