Метрические пространства

После объединения сигналов в одно множество, нас начинают интересовать отличительные свойства отдельных элементов этого множества. Конкретные сигналы представляют интерес лишь в их отношении с другими сигналами множества. Например, мы можем интересоваться амплитудой, энергией, частотой изменения, длительностью, и т. д. данного сигнала по сравнению с другими.

Общий подход для обозначения различия между двумя элементами множества состоит в том, что каждой паре сигналов ставится в соответствие действительное положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество с подходящим образом определенным расстоянием представляет собой пространство сигналов.

Это равносильно введению функционала, отображающего все пары элементов на действительную ось. Функционал называется метрикой и обладает следующими свойствами:

а) (свойство симметрии);

б) при и при (неотрицательность);

в) (неравенство треугольника). (1.2.1)

Таким образом, если множество обладает некоторой метрикой , то оно называется метрическим пространством . Например, действительная ось ‑ это метрическое пространство с метрикой

. (1.2.2)

Это обычная метрика на .

Часто используют и другие метрики. Например, если , (т.е. упорядоченные последовательности, кортежи), то следующие функционалы дают примеры возможных метрик:

1) - в геометрической интерпретации это манхеттово расстояние;

2) - евклидово расстояние; (1.2.3)

3) .

Эти метрики, в частности, могут быть использованы для комплексных чисел. В этом случае модуль числа равен .

Отметим еще одну метрику для последовательностей двоичных символов (0 и 1) – кодовых слов фиксированной длины. Если слово содержит символов, то расстояние между словами можно определить как

(1.2.4)

- число несовпадающих символов.

Данное расстояние называют расстоянием по Хеммингу и используется для обнаружения ошибок в системах связи. Рассмотрим пример кода с обнаружением ошибок и корректирующих кодов.

Здесь даны восемь кодов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы минимальное расстояние между любой парой слов было равно 2. Это достигается путем добавления к трем информационным разрядам разряда проверки на четность (), так чтобы каждое слово содержало четное число единиц. Т.к. минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном разряде может быть обнаружено.

Добавив еще разряды проверки на четность и получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получается корректирующий код, т.к. появление одной ошибки при передаче приводит к получению кода, который ближе к правильному коду, чем ко всем остальным.