Интегрирование основных классов элементарных функций.

Вычисление интегралов вида и , выделяя в квадратном трёхчлене полный квадрат и делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению табличных интегралов (см. приложение 6.3) и интегралов вида и , которые сводят к табличным заменой переменной .

Вычисление интегралов вида , делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению интегралов, рассмотренных выше.

Рациональной дробью называется рациональная функция вида . Если , то дробь не правильная, в противном случае – правильная. Всякую неправильную дробь всегда можно представить в виде , где , -многочлены от , причём . Выделение целой части (многочлена ) в неправильной дроби производят делением числителя на знаменатель, выполняемое «уголком». Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на её представлении в виде конечной суммы простейших дробей вида , , , , причём трёхчлен не имеет действительных корней. Вид этого разложения определяется разложением знаменателя дроби на линейные и квадратичные множители (не имеющие действительных корней).

Каждому линейному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида . Каждому квадратичному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида .

Неизвестные постоянные , , в разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей определяют методом неопределённых коэффициентов. Для этого правую часть искомого разложения приводят к общему знаменателю (им будет многочлен ), после чего у получившегося в числителе многочлена с неизвестными постоянными и у многочлена приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получают систему линейных уравнений, решая которую находят неизвестные постоянные. Можно также определять , , , подставляя в равенство, полученное приравниванием числителя к числителю дроби с неизвестными постоянными, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю , вместо некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя ) (метод частных значений). Часто, при нахождении неизвестных постоянных, комбинируют оба способа.

Интегралы вида , где -рациональная функция относительно аргументов и , приводятся к интегралам вида , где -рациональная функция относительно аргумента , с помощью универсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы

, , .

Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:

1) , если , при этом: , ;

2) , если , при этом: , ;

3) , если или , при этом: , , ;

4) , если , при этом . Здесь - рациональная функция относительно аргументов , .

Интегралы вида , где , - целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул: , .

Интегралы вида , , вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:

;

;

.

Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:

; ; ; .

Интегралы вида , где -рациональная функция своих аргументов, -целые числа, вычисляются с помощью подстановки , где - наименьший общий знаменатель дробей .

Вычисление интегралов вида , где -рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене и заменой , сводится к вычислению интегралов вида:

1) ; 2) ; 3) , где - рациональная функция своих аргументов.

Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:

1) или ;

2) или ;

3) или

приводятся к интегралам вида или , где - рациональная функция своих аргументов

Тема 2. Определённый интеграл.

К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , , и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа , называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на данном отрезке.

Если функция интегрируема на , то, по определению, полагают , .

Основные свойства определённого интеграла:

1..

2..

3..