Решение. а) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; - какое-нибудь частное

а) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.

Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .

Затем найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:

.

Для определения значений постоянных и , найдём производные и подставим выражения для вместо в неоднородное уравнение . Учитывая, что:

, ,

получим:

.

Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и : . Решив систему, найдём: , . Частное решение запишется тогда в виде: .

Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:

.

Ответ: .

б) Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.

Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , т.е. характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня , где , . Следовательно, ФСР имеет вид .

Затем найдём частное решение неоднородного уравнения с правой частью . В данном случае функция не является функцией специального вида , но представляет собой сумму функций и , каждая из которых уже имеет специальный вид. Поэтому, используя принцип наложения решений, частное решение неоднородного ДУ с правой частью найдём в виде суммы частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями .

Сначала найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём тогда в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому ; 2) , поэтому , , где - некоторые постоянные. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде: .

.

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём тогда в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: 1) число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; 2) , поэтому , , где - некоторые постоянные. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:

.

Общее решение исходного уравнения запишется тогда (с точностью до неизвестных постоянных в частном решении) в виде:

.

Ответ:

.

19. Найти общее решение разностного уравнения:

Общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения; - фундаментальная система частных решений (ФСР) однородного уравнения; - произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид ; 2) если - пара одинаковых действительных корней, то ФСР имеет вид ; 3) если -пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид , где ; .

Частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , ….. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.