Решение. Общее решение простейшего ДУ -го порядка находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде:

Общее решение простейшего ДУ -го порядка находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде:

.

Общее решение дифференциального уравнения порядка должно обязательно содержать разных произвольных постоянных.

а) Данное уравнение дважды проинтегрируем.

После первого интегрирования получим: . Интеграл вычислим (с точностью до постоянного слагаемого) методом интегрирования по частям. Получим:

. Тогда .

После второго интегрирования получим: .

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:

;

; .

Тогда

.

Ответ: .

Общее решение однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где - фундаментальная система его частных решений; -произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид ; 2) если - пара одинаковых действительных корней, то ФСР имеет вид ; 3) если - пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид .

Корни характеристического уравнения , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:

1) если дискриминант уравнения , то ;

2) если дискриминант уравнения , то .

б) Сначала найдём общее решение ДУ в виде: , где - фундаментальная система его частных решений.

Для нахождения ФСР, составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .

Тогда общее решение данного ДУ запишется в виде: .

Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: , . Для этого сначала найдём производную общего решения: . Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных и :

.

Решив систему, найдём: , . Тогда частное решение данного ДУ запишется в виде: .

Ответ:

Общее решение: ; частное решение: .

18. Требуется найти:

а) общее решение линейного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: ;