Решение. 1)Найдём интервал сходимости степенного ряда

1) Найдём интервал сходимости степенного ряда. Для

этого сначала вычислим предел

. Затем решим неравенство . Полученное неравенство равносильно системе неравенств , откуда: . Таким образом, интервалом сходимости данного ряда является интервал .

2) Радиус сходимости степенного ряда найдём, учитывая, что интервалом его сходимости , где , является интервал , т.е. из условия или . Откуда .

3) Для нахождения области сходимости степенного ряда исследуем его сходимость на концах интервала сходимости , т.е. в точках и .

При получим знакочередующийся числовой ряд . Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд , где , сходится, если: 1) ; 2) (может выполняться начиная с номера ).

Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница:

1) ; 2) . Оба условия выполняются и, следовательно, знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

При получим числовой ряд , являющийся обобщенным гармоническим рядом с показателем степени . Так как , то этот ряд сходится.

Таким образом, в точках и степенной ряд сходится и тогда областью его сходимости является промежуток .

Ответ: Для степенного ряда : - интервал сходимости; - радиус сходимости; - область сходимости.

13. Найти первые три отличные от нуля члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд

.