А) ; б) ; в) .

Если общий член числового ряда представляет собой отношение многочленов или алгебраических функций относительно аргумента , то исследование его на сходимость следует начинать с проверки необходимого признака сходимости. Если он не выполняется, то ряд расходится, в противном случае проводят дополнительное исследование на сходимость, используя предельный признак сравнения, где в качестве ряда сравнения выбирают обобщённый гармонический ряд.

Если в выражение общего члена числового ряда входят: , , то для исследования его на сходимость следует применить признак Даламбера. Если выражение для можно представить в виде , то для исследования ряда на сходимость следует применить радикальный признак Коши.

Решение.

а) Для данного ряда проверим сначала выполнение необходимого признака сходимости: (если он не выполняется, то ряд расходится). Получим

. Так как необходимый признак сходимости выполняется, то требуется дополнительное исследование ряда на сходимость.

Используем для исследования на сходимость предельный признак сравнения. В качестве ряда сравнения выберем ряд , который сходится, как обобщённый гармонический ряд с показателем степени .

При выборе в качестве ряда сравнения обобщённого гармонического ряда руководствуются следующим, если , где - некоторое число, то ряд сравнения имеет вид .

Тогда, по предельному признаку сравнения, так как , то ряды и или одновременно сходятся, или одновременно расходятся. Поскольку ряд сходится, то ряд также сходится.

Ответ: Ряд сходитсяпо предельному признаку сравнения.

При исследовании рядов на сходимость следует иметь в виду следующие предельные значения функций: , , , , , , а также известные пределы: (), , , , .

б) Данный ряд исследуем на сходимость по признаку Даламбера. Для этого вычислим предел , где В полученном для выражении выполним преобразование с факториалом и сократим числитель и знаменатель на общие множители. Получим .

Так как , то по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится по признаку Даламбера..

в) Данный ряд исследуем на сходимость по радикальному признаку Коши. Для этого вычислим предел , где . С учётом известного предела , получим

. Так как , то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится по радикальному признаку Коши.