Решение. Найдём сначала первые три отличные от нуля производные функции в точке : , , ,

Найдём сначала первые три отличные от нуля производные функции в точке : , , , . Получим:

;

;

.

Теперь подставим найденные ненулевые значения производных в ряд Тейлора функции в окрестности точки и получим:

.

Ответ: .

14. Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию определённую следующим образом: (в ответе указать первые пять отличные от нуля члена ряда). Построить график функции .

Разложение в ряд Фурье -периодической функции - кусочно-монотонной и непрерывной на промежутке , за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, во всякой точке её непрерывности имеет вид: ,

где коэффициенты и определяются формулами:

, ; , .

Решение:

1) Найдём коэффициенты ряда Фурье: и :

[ для вычисления интегралов применим метод интегрирования по частям ]

;

[ для вычисления интегралов применим метод интегрирования по частям ]

.

Таким образом, получили, что:

, , .

2) Запишем разложение -периодической функции в ряд Фурье: .

Полученное равенство имеет смысл во всех точках.

Если -периодическая функция имеет точки разрыва 1-го рода, то:

полученное равенство имеет смысл во всех точках, кроме точек её разрыва.

3) Запишем разложение, указав в нём первые пять ненулевых членов ряда Фурье. Для этого вычислим первые пять ненулевых коэффициента ряда Фурье: : , , , , , , , , , , , , , . Таким образом, первыми пятью ненулевыми коэффициентами ряда Фурье являются коэффициенты , , , , и разложение -периодической функции в ряд Фурье имеет вид: .

4) Построим график -периодической функции :

Ответ:

15. Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.

а) б)