Решение. Если , то фигуру прямыми, параллельными оси , разбиваем на части, такие, чтобы они

1) Изобразим фигуру :

2) Представим в виде .

Если , то фигуру прямыми, параллельными оси , разбиваем на части, такие, чтобы они имели вид . При этом объём тела, образованного вращением фигуры находим как сумму объёмов тел, образованных вращением её частей.

Так как это сделать невозможно, то фигуру разобьём прямыми , на три части , , , такие что и представим их в виде : , , . При этом .

3) Вычислим объём тела вращения: . Так как

,

,

то: .

Ответ: .

7. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах (изобразить область интегрирования):

.

Повторным интегралом называют: 1) интеграл вида по области , называемой элементарной в направлении оси , где -непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением; 2) интеграл вида по области , называемой элементарной в направлении оси , где -непрерывные на отрезке функции, задаваемые одним аналитическим выражением.

При изменении порядка интегрирования в повторных интегралах:

1) Если и , то область прямыми, параллельными оси , разбивают на части , такие, чтобы . При этом повторный интеграл по области представляют в виде суммы повторных интегралов по областям .

2) Если и , то область прямыми, параллельными оси , разбивают на части , такие, чтобы . При этом повторный интеграл по области представляют в виде суммы повторных интегралов по областям .