Тема 7. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - действительные числа. Числа называются коэффициентами ряда.

Всякий степенной ряд сходится в точке .

Радиусом сходимости степенного ряда называется число такое, что при ряд сходится (и притом абсолютно), а при расходится. Интервал при этом называется интервалом сходимости ряда. На концах интервала сходимости, т.е. в точках , ряд может как сходится, так и расходится.

Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки , если в них ряд сходится. В частности, радиус сходимости может быть равен , тогда область сходимости ряда состоит из одной точки , и , тогда областью сходимости ряда является вся числовая прямая).

Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), вычисляя пределы или и решая неравенство .

Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

.

Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

1) ;

2) .

Степенной ряд называется рядом Тейлора функции в точке . При ряд Тейлора называется рядом Маклорена: .

Представление функции в виде , называется разложением в ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток ряда при для всех из некоторой окрестности точки , входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой , где .

При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.

Тема 8. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется функциональный ряд вида , где числа и , называемые коэффициентами Фурье функции , вычисляются по формулам:

, , .

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Если функция на отрезке кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке , в которой непрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье . В точках разрыва функции и точках сумма ряда Фурье определяется формулами и .

В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение , где , ;

2) функция - нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение , где , .

Если функция задана только в интервале , то её можно продолжить в интервал либо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервале в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.