Уравнение Моно для кинетики клеточного роста

Скорость роста зависит от подачи питательных веществ. Однако, питательные вещества не следует подавать в избытке, так как избыточная концентрация может ингибировать рост клеток или привести к их гибели. Кроме того, если клетки растут слишком интенсивно, то накапливающиеся конечные продукты метаболизма могут нарушить нормальные биохимические процессы в клетках. Поэтому обычно общий рост клеток лимитируют, ограничивая количество одного питательного вещества в среде.

Впервые на лимитирование процессов роста культур клеток субстратами ферментативных реакций обратил внимание Жакоб Моно. Субстраты, ограничивающие рост микробных популяций, получили название лимитирующих.

Было показано, что зависимость скорости роста клеточной культуры от концентрации лимитирующего субстрата, можно представить в следующем виде (в экспоненциальной фазе):

(12)

где – число клеток,

– коэффициент пропорциональности, называемый удельной скоростью роста, мин^-1, ч^-1, с^-1.

(13)

Проинтегрируем уравнение (12):

(14)

Так как значение удельной скорости роста зависит от концентрации лимитирующего субстрата s то

(15)

– максимальная скорость роста, достигаемая при ;

– концентрация субстрата;

– параметр, называемый константой сродства субстрата к микроорганизму;

– это такая концентрация лимитирующего клеточный рост питательного вещества, при которой удельная скорость роста вдвое ниже максимального значения.

Это уравнение Моно. Уравнение Моно соответствует зависимости скорости ферментативной реакции от концентрации субстрата (уравнению Михаэлиса – Ментен) и выражается кривой типа гиперболы.

Уравнение Моно достаточно просто, его можно применять, когда и На основании литературных данных показано, что значения варьируют в диапазоне 10^-2…10^-5 с^-1; – в диапазоне 10^-2…10^{-8 М.}

На практике отсутствуют клетки с выше 10^-2 с^-1 и ниже 10^-5 с^-1. Верхний предел скорости роста клеточных популяций связан со скоростью процессов репликации ДНК. Нижний связан с низкой жизнеспособностью медленно растущих популяций.

Среднее значение составляет порядка 10^-4 с^-1, а среднее время удвоения клеточной популяции составляет около 2 ч.

(16)

Если применимо уравнение Моно (то есть ), то можно составить материальный баланс по клеточной массе, так как зависит от s. Введём понятие экономического коэффициента :

(17)

Тогда уравнение материального баланса по субстрату для стационарного состояния можно записать так:

(18)

Подставим в (18) уравнение Моно (15), тогда:

(19)

В этом случае уравнение материального баланса по клеточной массе будет выглядеть следующим образом. Преобразуем уравнение 10:

,

в него подставим уравнение Моно:

(20)

Уравнения (19) и (20) также называют моделью Моно для хемостата (для ПРПП).

Если питательные вещества стерильны, то есть как обычно и бывает, то из уравнения (18):

(21)

а из уравнения 20:

(22)