Швидкість та прискорення точки

Перш ніж перейти до поняття швидкості та прискорення, встановимо математичні способи визначення руху.

Рух точки визначається трьома основними способами: векторним, координатним і натуральним.

Векторний (інваріантний) спосіб визначення руху найчастіше застосовується в теорії. Параметр руху – це радіус-вектор (рис. 2.12)

Рівняння руху точки має вигляд:

= (t). (2.2)

Рівняння руху точки М (рис. 2.12) в координатній формі мають вигляд:

(2.3)

Радіус-вектор також може бути виражений через координати точки:

(2.4)

Залежність (2.4) встановлює зв’язок між координатним та векторним способами визначення руху точки.

Натуральний спосіб визначення руху точки М полягає в тому, що задається:

– траєкторія точки (рис. 2.13);

– початок відліку (точка 0 криволінійної координати S, що має розмірність довжини);

– додатний та від’ємний напрями відліку S;

– закон руху по траєкторії у вигляді залежності дугової координати S від часу:

S = S(t). (2.5)

Потрібно розрізняти шлях, що є величиною додатною, від дугової координати S, яка може бути і від’ємною.

Кінематичними мірами (характеристиками) руху точки є швидкість та прискорення. Почнемо розгляд з векторного способу.

За традицією, наслідуючи Ньютона, в механіці похідна від змінної величини за часом позначається крапкою над величиною, наприклад:

(2.6)

Швидкість точки є похідна від радіуса-вектора цієї точки за часом t, у системі відліку, що розглядається (рис. 2.14)

.

Вектор швидкості точки напрямлений по дотичній до траєкторії.

(2.7)

Якщо рух точки заданий координатним способом у декартовій прямокутній системі координат xyz (формули 2.3), то можна перейти до векторного способу виразом (2.4):

.

Оскільки в даній системі відліку , , , то

.

Тоді, диференціюючи вираз для за часом t, одержимо:

. (2.8)

Проектуючи векторну рівність (3.8) на осі x, y, z, отримуємо:

, , .

Знайдемо модуль швидкості точки:

. (2.9)

Проекції вектора прискорення можна одержати, міркуючи аналогічно:

,

звідки отримаємо:

, , ,

. (2.10)

Знайдемо швидкість та прискорення точки при натуральному способі визначення руху. Встановимо зв’язок з векторним способом, формально подаючи через S як складну функцію:

= [S(t)].

Диференціюючи її, дістанемо вектор швидкості:

(2.11)

або

Вектор (рис. 2.15) направлений по дотичній до траєкторії руху точки в даному напрямку відліку дугової координати.

Потрібно розрізняти позначення , V, .

– вектор швидкості; V– швидкість (модуль вектора ); – проекція вектора швидкості на вісь [t], = ± V; < 0, коли точка рухається у напрямі зменшення S.

. (2.12)

Величину та напрям другого доданку в (2.12) з’ясуємо, вважаючи, що

. (2.13)

Нормальний одиничний вектор направлений перпендикулярно до вектора в сторону увігнутості траєкторії руху точки.

Вектори та утворюють площину, що найбільш щільно прилягає до траєкторії руху у даній точці. Така площина називається стичною. Вираз (2.12) з врахуванням (2.13) запишеться:

. (2.14)

Вираз (2.14) є розкладання вектора на тангенціальне (дотичне) прискорення та нормальне прискорення (рис. 2.15) (за напрямками натуральних осей):

, (2.15)

(2.16)

Це означає, що вектор прискорення завжди лежить у стичній площині. Враховуючи перпендикулярність та , можемо записати:

. (2.17)

Нормальне прискорення характеризує зміну вектора за напрямком: = 0, коли рух прямолінійний (), у точках перегину (), у місцях перегину (V = 0).