П.1.1. Задача линейного программирования

Мушруб В.А., Сухорукова И.В.

Прикладная математика

Сборник задач

Часть I

Москва 2008

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Одобрено УМС факультета

Протокол № 1

«16» сентября 2008 года

Председатель

______________________

Зайцев М.В., Беляев А.А.,

Выборнова И.И., Григорян Е.Н.,

Мушруб В.А., Сухорукова И.В.

Высшая математика

Сборник задач

Часть I

Рекомендовано

Кафедрой ВиПМ

Протокол №

«01» сентября 2008 года

заведующий кафедрой высшей

и прикладной математики

профессор Зайцев М.В.

______________________

Москва 2008

Составители:

д.ф.-м.н., проф. Зайцев Михаил Владимирович,

к.ф.-м.н., проф. Беляев Александр Афанасьевич,

к.ф.-м.н., доцент Выборнова Иннеса Ивановна,

доцент Григорян Елена Николаевна,

к.ф.-м.н., доцент Мушруб Владимир Александрович,

д.э.н., профессор Сухорукова Ирина Владимировна

Пособие написано в соответствии с программой по прикладной математике для студентов экономических специальностей и содержит задачи по курсу прикладной математики, изучаемому студентами РГТЭУ в первом семестре второго курса. В пособии рассматриваются следующие темы: задачи линейного программирования, транспортные задачи, матричные игры.

Задачник может быть использован как для проведения практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены ответами.

СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1. Линейное программирование.............……………………………..5

П. 1.1. Задача линейного программирования...….…………………………..5

П. 1.2. Графическое решение задачи ЛП............…………………………....10

П. 1.3. Симплекс-метод решения задачи ЛП.......…………………………..18

П. 1.4. Двойственная задача ЛП. Условие устойчивости.........................…24

Раздел 2. Транспортная задача...........................………………….................34

П. 2.1. Замкнутая и открытая модели транспортной задачи………………34

П. 2.2. Другие модели транспортной задачи......……………………………40

Раздел 3. Теория игр........................................……………………………….44

П. 3.1. Матричные игры с седловой точкой.......……………………………44

П. 3.2. Графическое решение матричной игры..……………………………46

П. 3.3. Решение игры симплекс-методом............…………………………...49

П. 3.4. Игры с природой.......................................……………………………50

Ответы…………………………………………………………………………55

Раздел 1. Линейное программирование

П.1.1. Задача линейного программирования

Задача 1.1.1. Малое предприятие (МП) выпускает два вида прохладительных напитков (“Радуга” и “Сияние”), предназначенных для детей и взрослых соответственно. В производстве напитков используется 4 вида сырья: газированная вода, фруктовый сироп, лед и тонизирующая добавка. Нормы расхода сырья на производство одной партии напитков и прибыль от ее реализации даны в таблице 1.1.1.

Таблица 1.1.1

Выполните следующие задания:

1. Введите переменные.

2. Определите целевую функцию.

3. Составьте систему ограничений.

4. Определите вид математической модели задачи.

5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.

Задача 1.1.2. Автомобильный завод выпускает три вида автомобилей “Волга”: серийный вариант, повышенной комфортности и представительского класса. Время сборки на конвейере одного автомобиля составляет для этих типов автомобилей 1 мин., 2 мин. и 3 мин., а расход бензина на 100 км равен 10 л, 12 л и 15 л соответственно. Экологическое законодательство требует, чтобы средний расход бензина не превышал 13 л. Прибыль от реализации одного автомобиля составляет 6, 10 и 25 тысяч рублей соответственно.

Выполните следующие задания:

1. Введите переменные.

2. Определите целевую функцию.

3. Составьте систему ограничений.

4. Определите вид математической модели задачи.

5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.

Задача 1.1.3. Диетолог разрабатывает новую диету, состоящую из сливочного масла, натуральных бифштексов (мяса), хлеба и яблочного сока. Содержание калорий, белков, жиров, углеводов и холестерина (в 100 г продукта), а также максимальные и минимальные нормы их потребления (в день) приведены в таблице 1.1.3. Здесь же указана цена в рублях 100 г соответствующего продукта.

Таблица 1.1.3

Выполните следующие задания:

1. Введите переменные.

2. Определите целевую функцию.

3. Составьте систему ограничений.

4. Определите вид математической модели задачи.

5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.

Задача 1.1.4. Из двух видов сырья завод получает сплав меди, олова и цинка. Процентное содержание компонентов в сырье обоих видов дано в таблице 1.1.4.

Таблица 1.1.4

Цена 1 т сырья составляет 2000 руб. и 3000 руб., а имеющиеся запасы не превышают 5 и 12 т для 1-го и 2-го видов сырья соответственно. Полученный сплав должен содержать не более 1 т цинка, не менее 2 т олова, а содержание в нем меди должно составлять не менее 15%.

Выполните следующие задания:

1. Введите переменные.

2. Определите целевую функцию.

3. Составьте систему ограничений.

4. Определите вид математической модели задачи.

5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.

Задача 1.1.5. Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице 1.1.5.

Таблица 1.1.5

Магазины Склады	№1	№2
№1	20 руб.	45 руб.
№2	30 руб.	20 руб.
№3	40 руб.	35 руб.

Выполните следующие задания:

1. Введите переменные.

2. Определите целевую функцию.

3. Составьте систему ограничений.

4. Определите вид математической модели задачи.

5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.

Задача 1.1.6. Предприниматель-заготовитель, располагающий суммой 10000 рублей и фургоном грузоподъемностью 5 тонн, решил закупить у фермера лук и картофель. Закупочная цена лука - 1, 5 руб/кг, картофеля - 1 руб/кг, в то время как цена реализации предполагается 2, 5 руб/кг и 1, 5 руб/кг соответственно. Запасы картофеля у фермера составляют 4 тонны, а лука - 3 тонны.

Выполните следующие задания:

1. Введите переменные.

2. Определите целевую функцию.

3. Составьте систему ограничений.

4. Определите вид математической модели задачи.

5. Преобразуйте её к другим видам задачи ЛП.