П.3.3. Решение игры симплекс-методом

Задача 3.3.1. Завод планирует выпуск двух видов телевизоров А₁ и А₂, прибыль от продажи которых зависит от возможных состояний спроса S₁, S₂, S₃. Матрицы выигрышей (прибыли) завода в зависимости от вида телевизора А_i и спроса S_j даны ниже по вариантам.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

1. Решите игру графически.

2. Решите игру симплекс-методом.

Задача 3.3.2. Две конкурирующие фирмы-производители выпускают 3 вида электроплит каждая: первая - А₁, А₂, А₃ и вторая- В₁, В₂, В₃. Размеры прибыли 1-ой фирмы в зависимости от возможных стратегий выпуска электроплит будут следующие:

Вариант 1

Вариант 2

Решите игру симплекс-методом.

Задача 3.3.3. Решить матричную игру в смешанных стратегиях, если платежная матрица имеет следующий вид:

П.3.4. Игры с природой

Задача 3.4.1. АО “Злаки” имеет 3 стратегии закупки крупной партии зерна: на внутреннем рынке России (А₁), в Казахстане (А₂), в Канаде (А₃). Эксперты фирмы определили, что возможны 4 складывающиеся на рынке зерна рыночные конъюнктуры. В₁, В₂, В₃ и В₄, отвечающие сочетаниям факторов: курсов валют, курса рубля, урожаев зерновых, индексов деловой активности крупнейших мировых бирж и т.д.

Возможная прибыль АО при той или иной конъюнктуре приведены в таблицах.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Определите оптимальную стратегию закупки зерна.

1) по критерию Вальда,

2) по критерию Сэвиджа,

3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма

4) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей конъюнктуры рынка составляют р₁, р₂, р₃, р₄

Задача 3.4.2. Выбор проекта электростанции.

Энергетическая компания должна выбрать проект строительства электростанции одного из следующих типов: — тепловая электростанция, — приплотинная ГЭС, — бесшлюзовая ГЭС, — шлюзовая ГЭС, — АЭС. Экономическая эффективность электростанции определяется как средний доход в течение одного года эксплуатации электростанции в сопоставлении с капитальными затратами. Экономическая эффективность зависит от типа электростанции и от ряда неопределенных факторов (возможность наводнения, цены на каменный уголь, расходов по транспортировке топлива, цен на электротехническое оборудование, цены на электроэнергию). Путем анализа удалось выделить четыре варианта сочетаний данных факторов (они выступают в качестве состояний среды , , , и вычислить экономическую эффективность различных проектов при различных состояния среды (см. таблицы по вариантам).

Какой проект является оптимальным по критерию наибольшего математического ожидания, если известны вероятности состояний среды?

Какой проект является оптимальным по критерию Лапласа? Сравните и прокомментируйте результаты применения этих критериев.

Вариант 1.

Вариант 2.

Задача 3.4.3. ЗАО «Нива» планирует расширить производство по одному из следующих проектов: — выращивать картофель на дополнительных площадях, — засеять дополнительные площади овсом, — засеять дополнительные площади льном, — засеять дополнительные площади пшеницей,
— взять кредит, увеличить поголовье крупного рогатого скота и использовать дополнительные площади под клевер и другие кормовые культуры.

Доходность этих проектов в зависимости от состояний среды приведена в таблицах по вариантам.

Вариант 1

Вариант 2

Какой проект является оптимальным по критерию наибольшего математического ожидания, если известны вероятности состояний среды?

Какой проект является оптимальным по критерию Сэвиджа? Сравните и прокомментируйте результаты применения этих критериев.

Задача 3.4.4 Для доставки свежих фруктов из Кишинева в Москву можно использовать три вида транспорта: Т1 – воздушный, Т2 – автомобильный, Т3 – железнодорожный. Ожидаемые величины дохода аij, с учетом затрат на транспортировку, погрузочно-разгрузочные работы и сроков доставки фруктов и потерь и вместе с условными вероятностями (Pij) их получения представлены в виде матрицы. Каким видом транспорта наиболее выгодно доставлять свежие фрукты?

Задача 3.4.5. В Северном округе Москвы планируется строительство овощехранилища. Имеется три возможных проекта создания такого хранилища площадью S1=200, S2=300, S3=400 квадратных метров. В зависимости от эффективности использования выделенных площадей рассчитаны варианты ежегодного дохода (тыс. руб.). Определить наиболее целесообразный вариант строительства овощехранилища. (По критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица с коэффициентом пессимизма, равным 0, 8.)

Используемые Выде- площа- ленные ди площади	100 м2	200 м2	300 м2	400 м2
S1=200 м2
S2=300 м2
S3=400 м2	-140			670

Задача 3.4.6. Магазин имеет некоторый запас товаров ассортиментного минимума. Если запасов недостаточно, то необходимо завести его от поставщика, если запас превышает спрос, то магазин несет расходы по хранению нереализованного товара. Пусть спрос на товары лежит в пределах от 5 до 8 единиц, расходы по хранению одной единицы товара составляют с=0, 1 руб., а расходы по завозу единицы товара k=0, 2 руб. Надо определить оптимальную стратегию магазина по завозу товара. (По критериям Вальда и Сэвиджа.)

ОТВЕТЫ

1.2.1. А(3/7, 6/7), B(5/3, 10/3), C(11/4, 9/4), D(21/10, 3/10). 1.2.2. ОВР – неограниченная область, ОДР - многоугольник. 1.2.3. ОВР – неограниченная область, ОДР - точка. 1.2.4. ОВР и ОДР – пустые множества. 1.2.5. (a) . (б) 1.2.6. (a) . (б) . (в) .(г) . 1.2.7. , , . 1.2.8. (а) , (б) , (в) (г) 1.2.9. , ,. 1.2.10. . 1.2.11. Нет решений, . 1.2.12. . 1.2.13. . 1.2.14. Нет решений, . 1.2.15. , . 1.2.16. , . 1. 2.17. , бесконечное множество оптимальных решений. 1.2.18. , , . 1.2.19. (а) . , , . (б) ; ; , . (в) , ; ;

1.3.1. (а) . (б) . (в) . (г) . (д) . 1.3.2. . 1.3.3. . 1.3.4. Нет решений. 1.3.5. Нет решений. 1.3.6. Нет решений. 1.3.7. , . 1.3.8. , . 1.3.9. , . 1.3.10. , 1.3.11. (а) , , ; (б) .

1.3.12. , 1.3.13. (а) , , (б) , , (в) , , , (г) , , (д) нет решений.

1.4.4. ; , . , . 1.4.5. , ; .

(а) , .

(б) , .

(в) , .

(г) , .

1.4.6. а). Оптимальный план выпуска продукции максимальная прибыль .

б). Двойственные оценки , .

в). Матрица устойчивости: .

г) Условие устойчивости:

д) , , .

1.4.7.

1.4.8. 1.4.9. .

1.4.10.

1.4.11. 1) Всегда
2) Условие устойчивости выполнено.
3)

2.1.1. (а) , (b) , (c) , (d) , (e) .

2.1.2. (а) , (б) , (в) , (г) , (д) , (е) , (ж) , (з) , (и) , (к) .

2.1.3. (а) ; (б) .

2.1.4. (а) ; (б) ; (в) ; (г) ; (д)

3.1.1. (1) , (2) ,

(3) , (4) ,

3.1.2. (1) , (2) ,

(3) , (4) ,

3.2.2. (1) ,

(2) ,

(3) ,

(4)

3.2.3. Вариант 1.

Вариант 2.

3.2.4. ; .

3.2.5.

3.2.6. (а) , , ;

(б) , , .

3.3.1. (1) ,

(2) ,

(3) ,

3.3.3. , , .

3.4.2. Вариант 1. По критерию наибольшего математического оптимальной является 1-ая стратегия, а по критерию Лапласа 2-ая. Вариант 2. По обоим критерия оптимальна третья стратегия.

3.4.3. Вариант 1. По критерию наибольшего математического ожидания оптимальной является стратегия По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия Вариант 2. По критерию наибольшего математического ожидания оптимальной является стратегия По критерию Сэвиджа оптимальные стратегии — и .

3.4.4. По критерию максимального математического ожидания выигрыша и минимального математического ожидания риска - оптимальная стратегия T3.

3.4.5. По критерию Вальда – оптимальная стратегия S1, Сэвиджа – S2, Гурвица – S1.

3.4.6.

А В
		-0, 2	-0, 4	-0, 6
	-0, 1		-0, 2	-0, 4
	-0, 2	-0, 1		-0, 2
	-0, 3	-0, 2	-0, 1

По критерию Вальда и Сэвиджа – оптимальная стратегия А3.