П.3.1. Матричные игры с седловой точкой

Задача 3.1.1. Автомобильный концерн “Кайзер”, выпускающий мощный автомобиль “Родео” с большим расходом топлива, столкнулся с определенными трудностями, вызванными давлением на рынке конкурирующего концерна “Топаз”. Эксперты выделили следующие основные стратегии на рынке:

А₁- продолжать выпуск “Родео”;

А₂ - перейти к выпуску малолитражного автомобиля;

А₃ - внедрить среднелитражный автомобиль нового поколения;

Конкурирующий концерн “Топаз” располагает 3 возможными стратегиями:

В₁ - внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку;

В₂ - разработать автомобиль среднего класса;

В₃ - продолжить выпуск старого автомобиля с мощным мотором и большим расходом топлива.

Варианты возможных матриц выигрыша концерна “Кайзер” даны ниже. (При этом предполагается, что выигрыш одного конкурента равен проигрышу другого).

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Найдите оптимальные стратегии для обоих конкурентов и цену игры. Укажите, если она есть, седловую точку.

Задача 3.1.2. Для следующих матриц выигрышей определите доминирующие стратегии, произведите редукцию, найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

П.3.2. Графическое решение матричной игры

Задача 3.2.1. Охранник магазина следит за кассой, которая находится в торговом зале, и сейфом, расположенным в служебном помещении. Предполагаемый преступник может воспользоваться одним из 2-х планов действия:

1-ый план: проникнув под видом покупателя в торговый зал, неожиданно напасть на кассира и, взяв деньги из кассы, попытаться скрыться на автомобиле;

2-ой план: через потайную дверь проникнуть в служебное помещение и, вскрыв сейф и забрав выручку, скрыться через ту же дверь.

Пусть в кассе находится сумма S₁ тыс. руб., в сейфе S₂ тыс.руб. Данные приведены в таблице 3.2.1.

Таблица 3.2.1

Составьте матрицу выигрышей грабителя.

1. Найдите верхнюю и нижнюю цену игры.

2. Найдите оптимальные смешанные стратегии игроков графическим методом.

Задача 3.2.2. Фирма ”Попса” планирует выпустить запись концерта популярного певца Незванова в двух видах: на диске (D) и на видеокассете (V). Объем продаж и прибыль зависят от спроса, который может быть в одном из трех состояний S_i, связанных различными стратегиями основного конкурента фирмы.

Вероятности этих состояний не прогнозируемы.

Возможное значение прибыли фирмы при сочетании ее стратегии со спросом приведены ниже.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

1. Определите графически оптимальную смешанную стратегию фирмы.

2. Найдите наихудшую для нее смешанную стратегию конкурента.

Задача 3.2.3. Дана платёжная матрица. Решить матричную игру в смешанных стратегиях.

Вариант 1   B1 B2 B3 A1       A2
Вариант 2   B1 B2 B3 A1       A2

Задача 3.2.4. Игроки A и B играют в следующую игру. Игрок A записывает одно из чисел 0, 1. Игрок B записывает одно из чисел 2, 3 или 4. Если сумма написанных чисел четная то, это выигрыш игрока A, равный этой сумме. Если сумма написанных чисел нечетная то, это проигрыш игрока A, равный этой сумме. Найти платёжную матрицу и решить игру в смешанных стратегиях.

Задача 3.2.5. Игроки A и B играют в следующую игру. Игрок A записывает одно из чисел 0, 2 или 3. Игрок B записывает одно из чисел 0 или 1. Если сумма написанных чисел кратна 3 то, это выигрыш игрока A. Если сумма написанных чисел не делится на 3 то, это проигрыш игрока A. Найти платёжную матрицу и решить игру в смешанных стратегиях.

Задача 3.2.6. В ходе деловой игры возникла конфликтная ситуация двух юридических лиц. У одного из них имеется две стратегии, у другого – три. Платежная матрица игры Н:

(а) ,

(б)

Решить задачу графически.