Классическое определение вероятности.

Приведем классическое определение вероятности, каким его дал Лаплас, хотя оформилось оно еще в XVII веке.

Вероятность P(A) некоторого события A – это отношение числа M_A равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу N всех равновозможных элементарных исходов, т.е.:

P(A) = M_A / N (7)

Данное определение вероятности события A сделано на фоне всего ПЭИ W и представляет собой безусловную вероятность этого события. В разделе 2.1.7 будет введено понятие условной вероятности одного события на фоне другого и дано соответствующее определение.

Классическое определение вероятности является тавтологичным, так как, несмотря на то, что мы отнесли понятие вероятность к первичным, слова вероятность и возможность в обычном смысле воспринимаются как синонимы. С другой стороны, разбиение ПЭИ W на равновозможные элементарные исходы предполагает знание дискретной структуры моделируемого эксперимента, что доступно далеко не всегда. Таким образом, можно резюмировать, что классическое определение вероятности пытается отразить только содержательную сторону изучаемого явления.

Частотное определение, напротив, отражает лишь формальный аспект, предлагая ориентироваться только на результаты опытов, предоставляя при этом нам возможность постоянно подправлять оцениваемую вероятность.

Можно сказать, что мерувероятности необходимо понимать как двуединство частотного и классического определений.

Вычисления классической вероятности по формуле (7) требуют знаний правил комбинаторики. Вспомним соответствующие понятия и дадим необходимые формулы.

Парные комбинации. Пусть «n» различимых объектов комбинируются с «m» различимыми же объектами попарно. Общее число таких комбинаций равно

k = n * m. (8)

Пример. Шахматная доска имеет n = 8 горизонтальных и m = 8 вертикальных зон. Пересекаясь, эти зоны образуют k = 8 * 8 = 64 клетки шахматной доски, которые могут рассматриваться как элементы ПЭИ W, на которое «случайно ставится какая-то шахматная фигура».

Комбинации с возвращениями. Если «n» различимых объектов комбинируютсясами с собой последовательно «m» раз, то число таких комбинаций с «возвращениями» будет равно

r = n^m. (9)

Пример. Игральная кость (правильный куб) имеет шесть граней (n = 6) и при однократном метании порождает шесть примитивов: 1, 2, …, 6. Пусть кость подбрасывается дважды (m = 2). Каждый раз фиксируется примитив на верхней грани. Объём пространства W элементарных исходов w_i, характеризующихся в этом эксперименте парой цифр, будет равен r = 6² = 36.

Перестановки. Перестановки представляют собой такие комбинации, когда «n» различимых объектов последовательно переставляются друг относительно друга всеми возможными способами. Первый объект может стоять на любой из «n» позиций. Второму объекту остаётся теперь на одну позицию меньше: (n – 1). Таких пар будет n*(n – 1). Для третьего объекта останутся свободными (n – 2) позиции и вариантов станет n*(n – 1)*(n – 2). Так будет продолжаться, пока последний объект не займёт свою единственно свободную позицию. Общее число этих способов, называемых перестановками, вычисляется следующим образом:

n * (n – 1) * (n – 2) * … * 2 * 1 = n! = P_n. (10)

По определению 0! = 1! = 1.

Пример. Трёхзначное число 357 (n = 3) образовано разными цифрами (ноль не вошёл в эту группу). Сколько трёхзначных чисел можно построить из этих цифр, используя каждую из них один раз? Решение. P₃ = 3! =1*2*3= 6. Проверка. 357, 573, 735, 753, 537, 375.

Размещения. Размещения – это такие комбинации, когда из n различимых объектов формируются группы, содержащие m < n элементов, которые переставляются внутри каждой группы. Количество размещений равно отношению общего числа перестановок P_n к числу перестановок P_{(n-m )}:

. (11)

Пример. Из трёхзначного числа 357 (n = 3), образованного разными цифрами (ноль не вошёл в эту группу), формируются двузначные числа (m = 2). Сколько получится разных чисел? Решение. A₃² = 3! / (3 – 2)! = (1*2*3) / 1 = 6. Проверка. 35, 53, 37, 73, 57, 75.

Сочетания. Сочетания являются частным случаем размещений без перестановок внутри групп, т. е.:

. (12)

Пример. Из трёхзначного числа 357 (n = 3), образованного разными цифрами (ноль не вошёл в эту группу), формируются двузначные числа (m = 2). Сколько получится чисел, содержащих две разные цифры в любом порядке? Решение. C₃² = =3! / (3 – 2)! / 2! = (1*2*3) / 1 /(1*2) = 3. Проверка. 35, 37, 57.

Отметим важное практическое обстоятельство. При вычислениях классической вероятности по формуле (7), ее числитель и знаменатель должны определяться одним и тем же типом комбинаций. В противном случае, ПЭИ W и его подмножество A будут разбиты на неодинаковые по структуре элементарные исходы и вероятность P(A), вычисленная по формуле (7), будет определена не корректно.

Задача 2.1 Возьмем урну, содержащую двенадцать шаров. Из них три – белые (W), четыре – синие (B), а пять – красные (R). Опыт состоит из последовательного изъятия двух шаров (первый раз шар не возвращается!). Какова вероятность появления пары синих или красных шаров?

Переведем задачу на язык вероятностной символики.

Дано: n = 12: { n_W = 3; n_B = 4; n_R = 5 }; m = 2.

W = {появление пары шаров};

A = {появление пары синих или красных шаров};

Найти: P(A) –?

Решение. ПЭИ Ω «появление пары шаров» состоит из равновозможных элементарных исходов, представляющих собой одноцветные или смешанные пары шаров. Поскольку предполагается, что шары различаются лишь цветом (на них нет дополнительных меток), то мы имеем дело с сочетаниями, общее число которых

=66.

Количество синих и красных пар будет определяться другими сочетаниями:

+ = + = 6 + 10 = 16.

Искомая вероятность появления синей или красной пары будет равна

= 16 / 66 = 8 / 33. #

Символ «#» здесь и в дальнейшем означает конец примера или доказательства.