Аксиомы теории вероятностей

Аксиоматическое изложение теории вероятностей утвердилось благодаря фундаментальным работам А.Н. Колмогорова [4], хотя отдельные попытки такого подхода известны и ранее. Набор аксиом может быть разным. Рассмотрим систему аксиом, предлагаемую в [5].

Аксиома 1. Каждому статистически устойчивому событию A соответствует определенная вероятность P(A), такая, что

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице, т .е.

P(Ω) = 1.

Аксиома 2 имеет очень важное следствие: вероятность невозможного событияравна нулю, т.е. P(Ø) = 0. Необходимо отметить при этом, что обратное утверждение верно не всегда, т.е. если вероятность некоторого события равна нулю, то это не равносильно невозможности данного события.

Аксиома 3. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B + … + K) = P(A) + P(B) + … + P(K).

Аксиома 3 интересна тем, что она позволяет вычислять вероятности сложных событий, когда известны вероятности элементарных исходов, т.к. последние несовместны:

.

Используя совокупность предложенных аксиом, можно построить теоремы, позволяющие решать задачи по вычислению вероятностей противоположных событий, пересечений и объединений событий, опираясь на известные вероятности других событий.

В качестве иллюстрации применения Аксиом 2 и 3 приведём теорему о вероятности полной группы событий. Полная группа событий – это совокупность несовместных событий A₁ … A_i A_j … A_n целиком заполняющих ПЭИ W, т.е. A_iA_j = Ø (" i ≠ j) и A₁ + … + A_i + A_j +… +A_n = W. В соответствие с Аксиомами 2 и 3 вероятностьполной группы событий равна единице:

P(A₁ + … + A_i + A_j + … +A_n) = P(W) = 1. (13)