Геометрическая вероятность.

Классическое определение вероятности может быть распространено и на непрерывные множества.

Пусть Ω = G некоторая непрерывнаяобласть, в которую наудачу «бросается точка». Можно описать такие события: A = {попадание точки в подобласть g G } и B = {попадание точки в подобласть q G }. Если эти подобласти не имеют общих точек, то они не пересекаются, т.е. AB = Ø = { невозможный исход }. Если же они пересекаются, то существует какая-то третья подобласть h, точки которой одновременно обладают свойствами g и q, т.е. C = AB ={попадание точки в подобласть h = gq G }. Диаграммы Венна, представленные на рисунке (Рис. 2.2), иллюстрируют данный абзац на пространстве E².

Рис. 2.2. Геометрическая вероятность.

Вероятности таких событий определяются отношениями размеров (dim) соответствующих областей: P(A) = dim(g) / dim(G); P(B) = dim(q) / dim(G), P(C)= dim(h) / dim(G). Это, так называемая, геометрическая вероятность, т.е. правило, позволяющее использовать формулу классической вероятности при работе с моделями непрерывных пространств.

Задача 2.3. Случайная точка попадает в круг радиуса R. Какова вероятность события A = {точка попала внутрь равностороннего треугольника, вписанного в этот круг}? Решение. Области, о которых идёт речь в задаче – это круг и вписанный в него равносторонний треугольник. Их площади равны:

S_кр = π R² и S_тр = .

Искомая вероятность представляет собой отношение этих площадей:

P(A) = S_тр / S_кр = (3√ 3) / (4π) ≈ 0, 41.