Полупространства. Евклидово пространство.

Полупространство — совокупность точек евклидова многомерного пространства, лежащих по одну сторону от некоторой плоскости, разделяющей это пространство. Различают открытое и замкнутое П. В первом случае П. это множество точек x_i(i=1, …, n), координаты которых удовлетворяют неравенству Σ a_ix_i< d или неравенству Σ a_ix_i> d. Во втором случае это множество точек, удовлетворяющих неравенству Σ a_ix_i≥ d, или неравенству Σ a_ix_i≤ d, то есть П., включающее разделяющую гиперплоскость. В обоих случаях принимается, что параметры a₁, …, a_n не могут быть одновременно равны нулю.

Определение. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Примером евклидова пространства служит пространство , в котором скалярное произведение векторов задается соотношением: