Собственные векторы линейных операторов и их свойства.

Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть .

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов:
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ ₁, λ ₂, …, λ _m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ ₁=λ ₂= λ _m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

4. Для того чтобы ненулевой вектор X пространства V был собственным вектором линейного оператора A, необходимо и достаточно, чтобы его линейная оболочка L(x) была инвариантным подпространством относительно оператора A.

27. Теорема Фробениуса-Беррона для неразложимых матриц. (не совсем хорошее определение, но хоть что-то! Можно его поменять)

Если матрица D положительна и неразложима, то

1. D имеет собственное число , которое превосходит по модулю все другие собственные числа, это число называется корнем Фробениуса-Перрона

2. соответствует единственный собственный вектор, все координаты которого одного знака и ненулевые: .

3. оценить максимальное собственное число данной матрицы можно, посчитав суммы её элементов по столбцам (т.е. вычислив средние капиталоемкости), при этом искомое собственное число лежит в интервале между минимальной и максимальной суммой по столбцам.