Пространство элементарных событий

Рассмотрим некоторый эксперимент (явление, действие, опыт), ко­торый может привести к одному из множества элементарных, недели­мых с точки зрения целей данного эксперимента, событий (исходов). Это множество назовем пространством элементарных исходов и будем обозначать буквой П.

Произвольные события, к которым может привести эксперимент, будем рассматривать как подмножества множества Г2 и обозначать их буквами А, В, С... латинского алфавита.

Событие называется достоверным, если оно всегда происходит в ре­зультате эксперимента. Такое событие обозначается О, как и про­странство элементарных исходов.

Если событие не происходит никогда, оно называется невозмож­ным и обозначается 0.

Событие А называется дополнительным или противоположным со­бытию А, если оно состоит в том, что событие А не произошло.

События А и В называются несовместимыми, если они не могут произойти одновременно.

События А и В называются независимыми, если то, что одно из них произошло, никак не связано с тем, произошло ли второе. (В отли­чие от предыдущих, это определение не может быть сформулировано на теоретико-множественном языке.)

Суммой (или объединением) событий А и В называется событие. А + В, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из собы­тий А и В.

Произведением (или пересечением) событий А и В называется со­бытие А • В, которое состоит в том, что происходят оба события А и В.

События Д, А_г, А-,,..., А_п образуют полную труппу событий, если

они попарно несовместимы и их сумма равна ^.

Если событие В происходит всякий раз, когда происходит событие А, то говорят, что А - частный случай В, или А влечет за собой В, или В - следствие события А. При этом А с В.

1.1. Один раз подбрасывают две одинаковые игральные кости. По­
строить пространство элементарных событий. Описать событие А, со­
стоящее в том, что сумма выпавших очков равна 4, и событие В, со­
стоящее в том, что разность выпавших очков больше 3.

1.2. Один раз подбрасывают две игральные кости - черную и белую.
Построить пространство элементарных событий. Описать событие А,

состоящее в том, что сумма выпавших очков равна 5, и событие В, со­стоящее в том, что разность выпавших очков меньше 3.

1.3. Монету подбрасывают до первого появления " герба". Постро­
ить пространство элементарных событий. Описать событие А, состоя­
щее в том, что монету подбрасывали не более трех раз, и событие В,
состоящее в том, что монету подбрасывали более четырех раз.

1.4. Наудачу выбирают натуральное число, записанное в десятич­
ной системе счисления. Описать следующие события:

А - { число делится без остатка на 3};

В ={ число не делится без остатка на 5};

С ={ число делится без остатка на 12};

О ={ число меньше 1000 и его квадрат делится без остатка на 11}.

1.5. Проводится чемпионат мира по хоккею. Построить простран­
ство элементарных событий. Описать событие А, состоящее в том, что
сборная Польши осталась без медалей.

1.6. Событие С - частный случай события А • В. Доказать, что собы­
тие С также частный случай событий А, В, А + В. Доказать, что со­
бытие С несовместимо с событиями А- В, А-В, А + В.

1.7. Алгебра событий 5 содержит по крайней мере два события А и
В, не равные 0 и О. Какие полные группы событий можно построить,
используя А и В'1

1.8. Алгебра событий 5¹ содержит по крайней мере три разных со­
бытия А, В и С, не равные 0 и П. Известно, что А а В с С. Какие
полные группы событий можно построить, используя А, В и С?

1.9. Доказать, что события А, А • В, А[^В образуют полную груп­
пу событий.

1.10. Доказать тождества:

а) (А + В)(А + 13) = А,

б) (А + В)(А + В)(А + Я) = ЛЯ,

в) (А + ВС)(В + АС)(С + АВ) = АВС + ~ЛВС,

с) (А - В) + (А - С) = А - ВС.