Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения

Условной вероятностью Р(В/А) события В при условии события А в классическом случае называется отношение числа исходов, благо­приятных одновременно В и А, к числу исходов, благоприятных со­бытию А:

Легко видеть, что, разделив числитель и знаменатель дроби на об­щее число исходов п, получим

Р(А • В) Р(А)

Последнее равенство в общем случае принимается в качестве опре­деления.

Теорема сложения. Вероятность суммы событий А и В равна сум­ме вероятностей событий А и В минус вероятность произведения АВ:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Теорема умножения. Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В при условии А:

Р(А • В) = Р(А) • Р(В/А).

События А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей: Р(А • В) ~ Р(А) • Р(В).

4.1. В условиях задачи 2.4. найти вероятности следующих событий:

А, - (Ь + к= 10 или Ы-к = 7 },

А₂ - { хотя бы на одной кости 5 или 6 очков },

А₃ - { к + Ь = 11 или к - четно },

А, - { (к - Ь) - четно или к > 2 }.

4.2. Из колоды в 52 карты вынимают 7 карт. Найти вероятность
того, что среди них 4 дамы или 4 короля.

4.3. Из колоды в 52 карты вынули 5 карт. Найти вероятность того,
что:

а) все 5 карт одной масти;

б) среди этих 5 карт представлены все масти.

4.4. Студент знает ответы на 25 вопросов из 30. Найти вероятность
того, что он ответит не на все вопросы из билета, в котором 3 вопроса.

4.5 Из всех трехзначных чисел наугад выбирается одно. Найти ве­роятность того, что оно содержит цифру 5.

4.6 Бросаются три кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них выпало одно очко, если известно, что на всех трех вы-.пали разные грани.

4.7 Наугад выбирается четырехзначное число. Найти вероятность того, что оно не содержит цифры 3 при условии, что оно нечетно.

4.8. В условиях задачи 2.4. найти вероятности следующих событий:

A₁ = { к < 3 и Ъ > = 5 },

А₂ - { к - четно и Ь =< 3 },

A₃ = { к/5иЬ= 11 }.

4.9. Десять раз бросается монета. Найти вероятность того, что все
десять раз она упадет гербом вверх.

4.10 Проводится проверка архива. Из каждых десяти документов выбирают 2 и проверяют правильность индексирования. В случае, если хотя бы один из двух проверенных документов заиндексирован неверно, проверяют всю группу. Найти вероятность того, что будет пропущена группа, содержащая 4 неправильно заиндексированных документа.

4.11В урне 4 белых и 6 красных шаров. Шары вынимаются по од­ному до появления первого белого шара. Найти вероятность того, что процесс оборвется на 3-м шаре.

4.12. Из колоды вынимают карту за картой до появления двух ту­
зов. Найти вероятность того, что второй туз появится на 7-м шаге.

4.13. Из колоды вынули две карты, одну из них посмотрели - она
оказалась тузом. Затем эти две карты перемешали между собой и вы-
тянули одну. Найти вероятность того, что это: а) снова туз; б) десятка.

4.14 Среди двенадцати ламп две неисправны. Лампы проверяют одну за другой до выявления двух неисправных. Найти вероятность того, что проверка закончится на пятой лампе.

4.15. Студент, разыскивая нужную ему книгу, решил обойти три
библиотеки. Для каждой библиотеки вероятность того, что в ее фон­
дах есть эта книга, одинакова. Если книга есть, то равновероятно, вы­
дана она читателю или нет. Найти вероятность того, что студент полу­
чит книгу.

4.16. Среди 5 одинаковых пар обуви наугад выбирают 4 башмака.
Найти вероятность того, что хотя бы два из них составят пару.

4ю17 Ошибка при индексировании документа возникает с вероят­ностью 0, 01. После индексирования треть всех документов направля­ется в первый проверочный пункт, а две трети - во второй. Первый пункт пропускает ошибку с вероятностью 0, 2, а второй - с вероят­ностью 0, 3. Найти вероятность того, что документ попадет в архив с ошибкой в индексировании.

4.18. Изделие выпускается с браком с вероятностью р. Выбирают 5 изделий. Найти вероятность того, что среди них не более двух брако­ванных.

4.19Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0, 6; стрелок В - с вероятностью 0, 5; стрелок С - с вероятностью 0, 4. Выстрелили все трое. Найти вероятность того, что мишень поражена.

4.20Проводится серия испытаний прибора, который при каждом испытании ломается с постоянной вероятностью р. После первой по­ломки прибор ремонтируют, после второй признают негодным. Найти вероятность того, что:

а) прибор не будет признан негодным после пяти испытаний;

» б) прибор будет признан негодным на седьмом испытании.»

4.21. Двое играют, поочередно бросая монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадает герб. Найти вероятность того, что игра закон­чится на к-м бросании. Во сколько раз вероятность выигрыша больше для начинающего игру?

4.22. На отрезок [А, В] бросают независимо друг от друга 5 точек.
Вероятность попадания точки на какую-либо часть отрезка пропор­
циональна длине этой части. Найти вероятности следующих событий:

A₁={две первые точки будут находиться на расстоянии, меньшем трети отрезка от точки A, а три остальные - на расстоянии, меньшем трети отрезка от В};

А₂ = { две первые точки будут находиться от точки А на расстоя­нии, меньшем a, одна на расстоянии, большем a, но меньшем 2а; две последние на расстоянии, большем 2а}. Длина отрезка Зa.

4.23. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что:

а) точка, брошенная наугад внутрь круга, попадет внутрь квадрата;

б) из десяти точек, брошенных независимо друг от друга внутрь
круга, первые четыре попадут в квадрат, следующие три попадут в
один сегмент и по одной - в оставшиеся три сегмента, отсекаемые сто­
ронами квадрата от крута.

4.24. В семье двое детей, один из них мальчик. Найти вероятность
того, что другой ребенок также мальчик.

4.25. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что

ребенок - мальчик, если известно, что старший - мальчик.

урне 5 красных и 3 белых шара. Вынули 4 шара. Найти веро­ятность того, что ровно 2 окажутся красными, если известно, что сре­ди вынутых шаров по крайней мере один шар - белый.

4.27. Случайным образом выбирают целое число л от 1 до 1995.
Рассматриваются события:

А = { х делится на 5 }.

В = { х делится на 6 },

С = { x делится на 15 }.

Найти вероятности следующих событий: А. В, С, АВ, АС, ВС. АВС, -А+В, А + С\ В + С, А + В + С.

4.28. Документ приобретает силу, если под ним согласятся поста­
вить подписи не менее двух сопредседателей из трех. Первый сопред­
седатель согласится поставить свою подпись под документом с веро­
ятностью 0, 4; второй - с вероятностью 0, 3; третий - с вероятностью 0, 7.
Какова вероятность принятия документа?

4.29; Под документом необходимо получить подписи руководителя учреждения или двух его заместителей. Руководитель даст согласие подписать документ с вероятностью 0, 5; первый заместитель - с веро­ятностью 0, 3", второй - с вероятностью 0, 9. Найти вероятность того, что нужное число подписей будет собрано.

4.30. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб вы­
падет нечетное число раз.

4.31. Ответить на вопрос предыдущей задачи для 5 бросаний моне­
ты.

4.32. Обобщить результаты предыдущих двух задач на я бросаний
монеты.

4.33. Положим вероятность того, что наугад выбранное натураль­
ное число делится на п, равной 1/я. Найти вероятность того, что два
наугад взятых натуральных числа окажутся взаимно простыми.

4.34. Имеется N писем и столько же конвертов от них. Письма слу­
чайным образом раскладываются по конвертам. Найти вероятность
того, что каждое письмо попадет в свой конверт.

4.35. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что
хотя бы одно письмо попадет в свой конверт. Получить ответ для Л,
равного 5;! 0; 100.

4.36. Некто всегда носит с собой две коробки спичек, в каждой из
которых вначале было N спичек. Каждый раз, нуждаясь в спичке,
некто наугад вынимает одну из коробок. Найти вероятность того, что
в тот момент, когда он впервые вынет пустую коробку, в другой ко­
робке будет ровно К спичек.

4.37. Монету радиуса г случайным образом бросают на стол, по­
крытый полосатой скатертью с шириной полосы L. Найти вероят­
ность того, что монета не пересечет ни одной границы полос,

4.38. Монету радиуса г случайным образом бросают на стол, по­
крытый клетчатой скатертью с длиной стороны клетки L. Найти ве­
роятность того, что монета не пересечет ни одной стороны клетки.
(Толщиной линий пренебречь,)

4.39. Двое договорились о встрече с 10 до 11 часов утра таким обра­
зом, что пришедший первым ждет другого 20 минут, но не долее, чем
до 11.00. Найти вероятность того, что встреча состоится.

4.40. Доказать, что Р(А) = ] - Р(А).

4.4{.События А и В несовместимы. Доказать, что Р(А + В) = Р(А) + Р(В}.

4.42. Дана система попарно несовместимых событий.A1, A2,..., An.
Доказать, что вероятность их суммы равна сумме вероятностей.

4.43. Сформулировать теорему сложения для трех событий.

4.44 Дана система событий A1, A₂,..., An, таких, что каждое после­дующее из них не зависит от произведения предыдущих. Доказать, что вероятность произведения этих событий равна произведению их веро­ятностей.

4.45. Привести пример трех попарно независимых событий, вероят­ность произведения которых равняется нулю.