Распределения непрерывных случайных величин

где 0 < /? < I, д=[- р. Биномиальный закон распределения имеет слу­чайная величина, равная числу успехов в серии п независимых испы­таний Бернулли с вероятностью успеха р в каждом испытании.

Для биномиального распределения М[Х] - пр, О[Х] = прц.

3. Геометрическое распределение.

Случайная величина X, принимающая неотрицательные целочис­ленные значения А', имеет геометрическое распределение, если веро­ятности ее значений вычисляются по формуле

т итг-т -а ~п

Для равномерного распределения Л/[А ] = а+ --- и /)[А ] - --- —.

2. Нормальное распределение.

Непрерывная случайная величина А', принимающая значения па всей числовой прямой, имеет нормальное распределение с параметра­ми а и & > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

I Лу-сД

/*(*) =

где 0 < р< \, (}=[- р. Геометрический закон распределения имеет слу­чайная величина, равная числу независимых испытаний Бернуллн до первого успеха, если вероятность успеха в каждом испытании равна р.

Для нормального распределения М[Х]-а. О[Х]-а~. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отре­зок [а, Ь\ вычисляется по формуле

Р{а < X < Ь] = Ф | -~-^-] - Ф | —

V ст ) \ а

где Ф(л) - функция Лапласа, которая определяется равенством

3. Экспоненциальное (показательное) распределение. Непрерывная случайная величина X, принимающая неотрицател»? -

ные значения, имеет экспоненциальное распределение с параметром Л > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

при.г > О, при.т < 0.

Для экспоненциального распределения Л/[Л" ] = —, /)[Л']--—. Экспо-

Л /:

ненцнальное распределение имеют такие случайные величины, как время безотказной работы технического устройства и время ожидания в очереди на обслуживание.

, 8.1.; Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы в течение года для каждого узла равна 0, 8. Найти вероятность того, что за год:

а) откажет хотя бы один узел;

б) откажет ровно один узел;

в) откажут ровно два узла;

г) откажет не менее двух узлов.

8.2. Конструктор затребовал из архива 8 документов. Вероятность
наличия в архиве для каждого документа 0, 6. Найти вероятность того,
что конструктор получит хотя бы 5 из затребованных им документов.

8.3. Найти вероятность того, что среди десяти человек двое роди­
лись 1-го января и один - 30-го мая.

8.4. На телефонную станцию в среднем поступает в час 300 заявок.
Найти вероятность того, что за минуту на станцию поступит: а) не бо­
лее пяти заявок, б) ровно шесть заявок.

8.5. В среднем в день в архив поступает 4 документа. На полную об­
работку документа работнику архива требуется полдня. Найти вероят-

т'

ность того, что три работника не справятся с поступившими докумен­тами.

8.6 В тесто кладут изюм из расчета 3 изюминки на булку. Найти вероятность того, что в купленной будке:

а) нет ни одной изюминки;

б) больше трех изюминок:

в) ровно четыре изюминки.

Сколько изюма надо класть в тесто, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке равнялась 0.99?

8.7 Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шарика d₀ =3. Фактический диаметр - случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним //₀ и средним квадратичным отклонением а = 0, 05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых больше чем на 0, 1 отличается от номиналь­ного. Определить, какой процент шариков будет в среднем отбрако­вываться.

работают с распределенной нормально ошибкой, имею­щей среднее значение! 0 кг и среднее квадратичное отклонение 5 кг. Найти вероятность того, что ошибка превысит 15 кг.

.8.9. В художественную мастерскую поступает в среднем 1, 5 заказа в день. Найти вероятность того, что за шестидневную рабочую неделю в мастерскую поступит более 8 заказов.

8.10. За 10-часовой рабочий день в справочный фонд в среднем об­ращается 5 человек. Какова вероятность того, что между двумя обра­щениями пройдет меньше одного часа, если поток обращений - про­стейший.

8.! 1. В кафе работает 4 официанта. Администратор направляет по­сетителей за столики каждого из официантов строго по очереди. Най­ти плотность распределения интервала времени между клиентами од­ного официанта, если в среднем в кафе приходит 8 посетителей в час. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этого интервала.