Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Системы случайных величин
|
|
Две или более случайные величины, определенные на одном пространстве элементарных событий, называются системой случайных величин, или случайным вектором (Л, У)-
Система двух конечных или дискретных случайных величин определяется таблицей
2. ] (1з | /д- г (л /) г// = I (условие нормировки),
3. Если в точке (л, г) плотность /г> (.v, г) непрерывна, то
.
с. к с- у
4. Функция распределения выражается через плотность /г л -(.х. т)
| Ъ | Х2 | Л'з | х„ | |||
| У\ | Ри | /'21 | Рз. | р* | < /) | |
| г, | Ъг | Рп | Ри | Р„2 | 42 | |
| > < 3 | Аз | Ря | Ря | ... | Д.З | < ь |
| Гт | Р\т | Ръ„ | Рзт | Ршп | Чт | |
| А | Р2 | А | Р„ |
5. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент слу чайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:
| У и Л- (.У) = |
| • У) |
/л (*) = /лг.у
6. Вероятность попадания случайной точки в область О на плоскости можно вычислить по формуле
Функция совместного распределения системы случайных величин определяется равенством
Свойства функции распределения:
2. Гх } (.х, г) не убывает по каждому аргументу,
3. Нт р'уг{.\, у)-- Нт Гхг(.\, у)= Пт Рх} (х, у)~ О,
Л'—*—Т Г -*—X Л -> — г:
Г-> -: /;
4. Нт ггу(л, ]) =!.
5.! 1т ГГ) (л, г) - /> 0') и Нт Гд.у(.х, _)')= Гг(.х), где Гл-(л') и Г} О) -
Л~И: г. ' ' ' ')-> +зс
функции распределения случайных величин X и У соответственно.
Плотность совместного распределения системы непрерывных случайных величин X и У определяется по формуле
Условный закон распределения случайной величины X при условии, что У приняла определенное значение, имеет плотность
,)• =, - = 4. Аналогично -Х = х} =.
Две случайные величины X и У называются независимыми, если для любых подмножеств А и В числовой прямой выполняется равенство Р{Х & А, У & В}=Р\Х & А}-Р{У & В}.
Случайные величины Л' и У независимы тогда и только тогда, когда для любых л и г имеет место равенство Гх х(л, v) = /ч(*) • /> (! ') -
Для независимости компонент случайного вектора непрерывного типа необходимо и достаточно, чтобы /у у(.х, г) = /ИЛ) " /> -0") •
Математическим ожиданием случайного вектора (Л', У) называется вектор (Л/[Л'], А/[У]), составленный из математических ожиданий
компонент.
Для случайного вектора дискретного типа
Ам М[У]=
Свойства плотности совместного распределения случайных величин:
! < /< «1< ]< т
Для случайного вектора непрерывного типа
26
Дисперсией случайного вектора (X, У) называется вектор (/)[Л ], /)[У ]), составленный из дисперсий компонент. Для случайного вектора дискретного типа
Для случайного вектора непрерывного типа
[[(л - Л/рГ])2Л-.г(
2 /V.) (V, V
Зависимость между случайными величинами описывается корреляционным моментом (ковариацией) и коэффициентом корреляции. Корреляционный момент вычисляется по формуле
Со*{Х, У] = М[(Х - М[Х]) • (У - М[ У])].
Если случайные величины Л" и У независимы, то О? г[Л', У] = 0. Обратное неверно!
Значение ковариации зависит от единиц измерения, поэтому вводится другая характеристика зависимости компонент случайного вектора - коэффициент корреляции, который определяется равенством
9.1. В урне 5 белых шаров, 3 красных, 2 синих. Вынимают 3 шара.
Найти функцию совместного распределения числа красных и числа си
них среди вынутых шаров. Зависимы ли эти величины? Вычислить ко
эффициент корреляции между этими величинами. Построить функции
условных распределений и найти условные математические ожидания.
9.2. Пара случайных величин (Л',)') равномерно распределена на
круге радиуса К. Найти плотность совместного распределения этих
величин, плотноста распределения каждой из величин, плотности ус
ловных распределений, математические ожидания и коэффициент кор
реляции между ними.
9.3. Ответьте на вопросы, поставленные в предыдущей задаче, для
системы случайных величин, совместное распределение которых зада
ется поверхностью кругового конуса с радиусом основания К.
9.4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 красных шаров, два раза без
возвращения вынимают по шару. Найти коэффициент корреляции
между числом красных шаров, вынутых при первом вынимании, и
числом белых шаров, вынутых при втором вынимании.
9.5. Бросают две монеты. Число гербов,.выпавших на первой моне
те, Л', число гербов, выпавших на второй монете, > '. Вычислить ко
эффициент корреляции между случайными величинами X + У и XV.
9.6. Случайный вектор (X, У) равномерно распределен на квадрате
с вершинами в точках (2, 0), (-2, 0), (0, 2), (0, - 2). Зависимы ли коор
динаты вектора? Найти совместное распределение компонент, рас
пределения и условные распределения компонент, коэффициент кор
реляции.
г[Х, У]
Со}{Х, У]
Свойсттза коэффициента корреляции:
1. если Л и У независимы, то г[Л', У] = 0 (обратное неверно!),
2. г[ЛМ']|< 1,
3. если V = аХ + Ь, то \г[Х, Г]| = I,
4. если С = аХ + Ь и V - г Г1 А, то г[Л', У'](= |г[(/, Г ]|,
5. Если Л и }г распределены нормально и фТ, К] = 0, то.V и У неза
висимы.