Формула полной вероятности. Теорема Байеса

Пусть задана система событий Я,, Я₂,..., Я„, разбивающих про-

странство элементарных исходов О некоторого эксперимента так, что Я, - • И I - 0 при / Ф / и Я, + Я₂+...+Я„ = О. Такая система событий на-

зывается системой гипотез.

Тогда для любого события А справедливо равенство

которое называется формулой полной вероятности.

Теорема Байеса. Если в результате эксперимента, пространство эле­ментарных исходов которого разбивается системой гипотез Я,, Я,,..., //„, произошло событие А, то вероятности гипотез могут быть пере­оценены:

5.1. Вся продукция фабрики выпускается станками типов А, В и С. На станках типа А выпускается 30% всей продукции, на станках типа В - 25%. Станки типа А дают 1% брака, станки типа В - 1, 2% брака, а станки типа С - 2% брака. Найти вероятность выпуска бракованной продукции. При условии, что продукция оказалась бракованной, найти вероятность того, что она произведена на станке типа С.

5.2. Имеется три урны. В первой 4 белых и 1 красный шар; во вто­рой - 2 белых и 3 красных шара; в третьей - 3 белых и 2 красных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся: а) красными, б) белыми. При условии, что оба ша-ра белые, найти вероятность того, что они вынуты из первой урны.

5.3 Из урны, содержащей 3 белых и 2 красных шара, переложены вынутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белых и 4 красных шара. Из второй урны вынут шар. а) Найти вероятность того, что вы­нутый шар окажется белым, б) При условии, что вынутый шар оказал­ся красным, найти вероятность того, что были переложены 2 белых шара.

5.4. Три сестры: Алиса, Бетти и Салли моют посуду после ужина. Старшая, Алиса, моет посуду в половине всех случаев, Бетти и Салли -в четверти каждая. Если посуду моет Алиса, то вероятность того, что посуда будет разбита, равна 0, 02. Если это делает Бетти, то вероят­ность равна 0, 03. Для Салли эта вероятность равна 0, 04. Раздался звон разбитой посуды. Найти вероятность того, что в кухне хозяйничала Салли.

5.5. Известно, что 5% всех мужчин и 0, 25% всех женщин страдают дальтонизмом. Какова вероятность того, что наугад выбранный даль­тоник - мужчина?

5.6. Из деталей высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в тече- о ние года равна 0, 95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, ° ^ч эта вероятность - 0, 7. Найти вероятность того, что проработавший год телевизор собран из деталей высокого качества.

•^ 5.7. Игроки равновероятно используют в игре одну или две кости. Найти вероятность того, что они используют две кости, если известно, что у кого-то выпало 6 очков.

5.8. Прибор состоит из двух узлов. Первый узел выходит из строя за время I с вероятностью /?,, а второй - с вероятностью р_г. Найти вероят-ндсть того, что в поломке прибора повинен только первый узел. 5.9Вероятность того, что интересующий нас документ передан в архив, равна 0, 8. Он может быть направлен в архив А, получающий 40% всей документации, или в архив В, получающий 60% документа­ции. Найти вероятность того, что в архиве А документ есть, если в ар­хиве В его не оказалось.

v 5.10. При оформлении документ проходит две стадии обработки. На первой ошибки возникают с вероятностью 0, 2, на второй - с веро­ятностью 0, 3. Какова вероятность того, что на обеих стадиях допуще­ны ошибки, если известно, что документ оформлен неверно?

5.11. Из архива А получено два документа, а из архива В - один. Один из трех документов оформлен неверно. Это случается в архиве А с вероятностью 0, 01, а в архиве В - с вероятностью 0, 1. Найти вероят­ность того, что неверно оформленный документ поступил из архива А. V

5.12. Вероятность того, что интересующий нас документ имеется в архиве, равна р, причем с равной вероятностью он может находиться в любой из восьми папок. Мы просмотрели семь папок и не нашли до­кумента. Найти вероятность того, что он есть в восьмой папке.

\/ 5.13. Имеется 20 экзаменационных вопросов. На экзамен пришло 10 студентов. Из них 5 знают ответы на все вопросы, 4 знают ответы на 10 вопросов и один знает ответы только на 5 вопросов. Студент отве­тил на три вопроса. Чему равна вероятность того, что он знает ответы на все вопросы?

5.14. Имеется 10 урн, в каждой из которых 9 шаров красного и бе­лого цвета. В первой урне все шары - красные, во второй - 8 красных и 1 белый, в третьей - 7 красных и 2 белых шара и т.д. Из случайно вы­бранной урны наугад вынимают шары, причем вынутый шар каждый раз возвращают обратно. 5 вынутых подряд шаров оказались красны­ми. Какова вероятность того, что шары вынимались из первой урны? Найдите вероятность того, что следующий шар тоже окажется крас­ным.

6. Случайные величины и их функциональные харак­теристики

Числовая функция Х(со), заданная на пространстве элементарных

исходов С1 некоторого эксперимента, такая, что для любого действи­тельного числа л множество {со /Х(со)< х} принадлежит алгебре со­бытий 5 данного эксперимента, называется случайной величиной.

Случайная величина называется конечной, если она принимает ко­нечное число значений.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений, дискретно расположенных на числовой оси.

Случайная величина называется непрерывной в широком смысле слова, если она принимает значения, заполняющие некоторый проме­жуток числовой оси.

Конечные и дискретные случайные величины описываются табли­цей распределения (законом распределения):

Н

Случайная величина называегся непрерывной в узком смысле, если непрерывна ее функция распределения.

Для непрерывной случайной величины выполняется следующее свойство, называемое иногда " парадоксом нулевой вероятности": Р{Х -- а} - О для любого конкретного числа а.

Для непрерывной случайной величины существует еще одна функ­циональная характеристика - плотность распределения вероятности, которая для произвольного действительного числа.т определяется равенством

• / _ | • ^Г\ (^х + Л-*) -? х (*)

• ^Л дл--»о Дд-

Нетрудно видеть, что плотность распределения есть производная функции распределения случайной величины: /_г(.х) = /^'(л).

Свойства плотности распределения:!. /_Л (.х) > 0, -оо <.х < +со; 2. Нт /_Л- (.г) = 0, Нт /_х (х) = 0;

3. | /\ (л) г/.х: = I (условие нормировки);

где в верхней строке записываются значения случайной величины, а в нижней - их вероятности.

Очевидно, что такая таблица только тогда может быть таблицей рас­пределения дискретной случайной величины, когда % +р₂+... +/? „+... -сходящийся ряд, имеющий сумму, равную 1. Для конечной случайной величины получаем конечную сумму, равную 1.

Универсальной характеристикой случайной величины сл\~/кит функ­ция распределения случайной величины - функция действительного аргумента, определенная для любого действительного л равенством

Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. О < Р_х(х) < 1, -со < д: < +со;

2. Г_х(х) определена и не убывает на всей числовой оси;

3. Нт /=> (.х) = 0, Нт/> (.х) = 1;

Л— > -Х Л— > 13С

4. Р_х(х) непрерывна слева, т.е. Нт Г_х(х) = Г_х(х₀);

л •-».«•„ -О

4. Г_А (л)

5.

?. 6.1 Бросаются три монеты. Построить закон и функцию распреде­ления числа выпавших гербов.

6.2. Бросаются две кости. Построить закон и функцию распределе­
ния суммы выпавших очков.

6.3. Производится три выстрела по мишени с вероятностью попа­
дания 0, 6. Построить закон и функцию распределения числа попада­
ний.

6.4. В лотерее на каждые 1000 билетов один выигрывает 50 долла­
ров, 2 - по 30 долларов, 3 - по 10 долларов. Построить закон и функ­
цию распределения выигрыша владельца одного билета, если стои­
мость билета 1 доллар.

6.5 Найти функцию и плотность распределения времени ожидания поезда метро, если поезда приходят каждые 2 минуты. Построить графики.

6.6. Случайным образом бросают точку в круг радиуса К. Найти функцию и плотность распределения расстояния отточки до центра круга.

6.7 Определить постоянную С, найти функцию распределения Р(х) и вероятность Р(-1 < ч < I) для следующих случайных величин с задан­ной плотностью распределения:

Се * при х > О, О при х < О;

1. Числовые характеристики случайных величин

Основной числовой характеристикой случайной величины служит ее среднее значение, или математическое ожидание, которое определя­ется по формулам

п

М\Х}= ^а, /?, - для конечной случайной величины,

М[Х] = ^Г₁.\_/р₁ - для дискретной случайной величины,

1=1

6.8. Доказать, что для случайной величины X, заданной на про­странстве О и имеющей алгебру событий 5, события {X -а], (Л' > а\, {X > а\, (Л' < а], {а < X < Ь\, {а< X < Ь} принадлежат алгебре событий

М[Х]= \х/_х(х)11х - для непрерывной случайной величины.

Для того чтобы в двух последних случаях математическое ожидание существовало, требуется, чтобы числовой ряд и несобственный инте­грал абсолютно сходились.

Свойства математического ожидания (если свойство касается не­скольких случайных величин, подразумевается, что они заданье на од­ном и том же пространстве элементарных исходов):

3. если случайные величины X и У независимы, то

4. если случайные величины X и У положительны, связаны неравен­
ством У< Х и существует 'М[Х~\, то существуют Л/ [Г] и Л/[Г]< Д/[Л'],

5. если существует конечный первый абсолютный момент Л/[|.Л'|], то

для люоого «? > 0 выполняется неравенство

неравенство Чебышева).

Модой случайной величины называется такое ее значение, при ко­тором плотность для непрерывной или вероятность для дискретной и конечной случайных величин достигают максимума.

Медианой случайной величины X называется число Л_у, такое, что Р{Х< Н_Х} = Р{Х> 11_Х},

Дисперсией случайной величины называется среднее значение квад­рата отклонения случайной величины от ее математического ожида­ния:

Свойства дисперсии:

1. О\Х ]> 0 для любой случайной величины,

2. Я[л>.Л/[Л'²]-(Л/[Л1)²,

3. О\аХ + Ь] = а²О[Х],

4. если случайные величины X и У независимы, то

, то для любого гг> 0 выполняется

неравенство Р\ X - М[А'| > к\ < — Ц- (второе неравенство Чебышева).

8'

Средним квадратичным отклонением случайной величины называ­ется корень квадратный из ее дисперсии: < т[Х] = ^О[Х].

Как и математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина.

7.1. Найти математическое ожидание^ дисперсик^случайной вели­
чины из задачи 6.!.

7.2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели­
чины из задачи 6.4. Какую прибыль получат устроители лотереи с 1000
участников?

\7.3, Найти математическое ожидание и среднее квадратичное от­клонение случайной величины из задачи 6.5. Сколько в среднем ухо­дит времени на ожидание поезда метро за 30 дней у человека, пользу­ющегося метро 2 раза в день?

^7.4. Вероятность того, что 25-летний человек проживет год, равна 0, 992. Людей такого возраста страхуют на сумму 1000 долларов с на­чальным взносом 10 долларов. Какую прибыль получит страховая компания с тысячи застрахованных?

7.5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных вели­
чин, плотности которых приведены в задаче 6.7.

7.6. Вероятность того, что пятидесятилетний мужчина проживет
год, равна 0, 988. Какую премию должна назначить страховая компа­
ния за страховку пятидесятилетнего, если начальный взнос он запла­
тил в размере 1000 долларов? (Прибыль не учитывается).

7.7. В урне 5 красных и 3 белых шара. Двое по очереди вынимают
из урны по шару до появления белого шара. Вынувший-белый шар иг­
рок пол) чает от другого столько долларов, каков был номер хода, на
котором появился первый белый шар. Найти математическое ожида­
ние выигрыша для игрока, начинающего игру.

,, 7.8. В архиве отыскиваются 3 документа. Вероятность того, что первый доку мент есть в архиве, равна р,, второй - р,, третий - />,. Най­ти математическое ожидание числа документов, которые удается отыскать.

7.9. Обработка результатов одной переписи показала, что плот­
ность вероятности возраста научных работников можно представить
формулой

/(г) = *(*-22, 5X97, 5-О⁵,

где 1 - возраст в годах и 22, 5 < / < 97, 5. Определить, во сколько раз чис­ло научных работников в возрасте моложе среднего превышает число научных работников в возрасте старше среднего.

7.10. Большое число людей подвергается исследованию крови. Оно
может быть организовано двумя способами.

1) Кровь каждого можно исследовать отдельно.

2) Кровь " k" людей можно исследовать вместе. Если анализ поло­
жителен, то кровь каждого в группе исследуется отдельно. В этом слу­
чае для групп в " к" человек потребуется сделать к+1 анализ.

Считая, что интересующая исследователей болезнь встречается с ве­роятностью р, ответить на следующие вопросы:

а) чему равна вероятность того, что анализ смешанной крови " 1с"
людей окажется положительным?

б) чему равно математическое ожидание числа всех анализов при
втором методе исследования?

в) при каком " к" математическое ожидание минимально?