Чистый изгиб.

Из рассмотрения картины деформации элемента стержня при чистом изгибе (рис.2.5.в) была получена зависимость . С учетом данной зависимости формула, выражающая закон Гука для линейной деформации, приобретает вид

(2.35)

Подстановка формулы (2.35) в условия статической эквивалентности (2.1), (2.4) и (2.5) дает

, , (2.36)

Вынося постоянные и за знак интеграла и вводя обозначения , и , формулы (2.36) можно переписать в виде

, , (2.37)

где - статический момент площади поперечного сечения стержня относительно оси x. - осевой момент инерции площади поперечного сечения относительно оси , - центробежный момент инерции. При чистом изгибе в одной плоскости продольная сила и изгибающий момент , а это возможно лишь в том случае, когда и , что обеспечивается надлежащим выбором осей x и y.

Из курса теоретической механики известно, что равенство нулю статического момента фигуры относительно некоторой оси, означает, что данная ось центральная (проходит через центр тяжести сечения). Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.

Из формулы (2.37) определяется значение кривизны:

, (2.38)

где - изгибная жесткость стержня.

Формула вычисления нормальных напряжений в балках (2.35) с учетом найденного значения кривизны принимает вид:

(2.39)

При у=0, , то есть в точках, принадлежащих центральной оси х, нормальные напряжения равны нулю. Поэтому, в дальнейшем ось х будет именоваться нейтральной. График, показывающий изменение нормального напряжения по высоте сечения стержня, называется эпюрой напряжений. На рис.2.10 показаны эпюры нормальных напряжений для некоторых форм поперечного сечения стержня

Значение осевого момента инерции для различных форм поперечного сечения можно найти в справочной литературе. В частности, для приведенных на рис.2.10 прямоугольника и круга, формулы вычисления осевого момента инерции имеют вид , . Третья форма поперечного сечения, приведенная на рис.2.10, называется " двутавр" и относится к группе стандартных прокатных профилей. Значение осевого момента инерции стандартного прокатного профиля определяется по номеру прокатного профиля с помощью специальных таблиц, которые называются " сортамент".

Рис.2.10

Наибольшие нормальные напряжения в сечении стержня возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси х, то есть

(2.40)

Принята специальная форма записи формулы (2.40) в виде

, (2.41)

где - осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси х.

Условие прочности по нормальным напряжениям выражается формулой

(2.42)

Три типа задач, решаемых с помощью условия прочности:

· проверка прочности - ;

· подбор поперечного сечения - ;

· определение несущей способности - .

При поперечном изгибе кроме изгибающего момента в сечениях балки возникает поперечная сила . Согласно условию статической эквивалентности (формула 2.3) поперечная сила есть равнодействующая распределенных по сечению касательных напряжений

(2.43)

Касательные напряжения в балках вычисляются по формуле Журавского

(2.44)

(вывод формулы Журавского и комментарий к формуле можно найти в любом курсе сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по высоте сечения балки носит нелинейный (параболический) характер. Максимальные касательные напряжения возникают в точках, расположенных на нейтральной оси х (рис.2.11). Скачки на эпюре касательных напряжений обусловлены скачкообразным изменением ширины поперечного сечения балки (величина в формуле 2.44).

Рис.2.11

Для балок, имеющих рациональные (тонкостенные) поперечные сечения, необходима проверка прочности материала по максимальным касательным напряжениям . Вторая проверка прочности производится по формуле Журавского в сечениях балки с максимальным значением поперечной силы в точках сечения, расположенных на нейтральной оси.

3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ.

Содержание контрольных работ

Вариантом являются два числа А и В. Эти числа студенты берут в зависимости от номера зачетной книжки. Причем А – последняя цифра номера, В – предпоследняя. Например, номеру зачетной книжки 99-ЛТ-35 соответствует вариант А=5, В=3.

3.1. Задача 1 " Расчет прямоосного ступенчатого стержня на осевое действие сил".

Прямоосный ступенчатый стержень нагружен двумя осевыми силами и (рис.3.1).

Требуется:

1. Сделать схематический чертеж стержня по заданным размерам, соблюдая масштаб.

2. Построить эпюру продольной силы с учетом собственного веса.

3. Вычислить абсолютную деформацию стержня.

Исходные данные приведены в таблице 1.

В расчете следует принять модуль продольной упругости МПа, объемный вес материала стержня кН/м³ , ; .

Рис.3.1

Таблица 1

Номер строки	Номер схемы (рис.3.1)
м	‑	см2	‑
			0, 8		0, 6
			0, 7		0, 7
			0, 6		0, 8
			0, 5		1, 2
			0, 4		1, 4
			0, 8		1, 2
			0, 7		0, 8
			0, 6		0, 7
			0, 5		0, 6
			0, 4		0, 5
	А	В	А	В	А