Пример решения задачи.

Абсолютно жесткий диск (элемент со штриховкой) (рис.3.4.а) с помощью трех стержней прикреплен к опорам. Материал стержней 1 и 2 дерево (), стержень 3 – стальной (). На систему действует вертикальная сила Р =100 кН. Примем в расчете а =3 м, b =4 м, =30⁰, =20⁰.

1. Определение продольных сил в стержнях системы.

Для определения продольных сил в стержнях системы применяется метод сечений. Жесткий диск отсекается от опор. В рассеченных стержнях показываются векторы продольных сил (рис.3.4.б). Составляются уравнения равновесия системы, из которых определяются продольные силы.

;
= кН

кН

кН

Примечание. В схемах 1, 2, 3 для определения усилий в стержнях системы вырезается промежуточный узел с силой Р.

Рис.3.4

2. Подбор размеров поперечных сечений стержней.

Площади поперечных сечений стержней подбираются по формуле:

(3.1)

где -допускаемое значение нормального напряжения.

Стержень 1.

Стержень 2.

Стержень 3.

Первый и второй стержни имеют квадратное сечение, следовательно F ₁= и F ₂= или 55= => =7.4 см; 14, 6= => =3.8 см

Третий стержень имеет круглое сечение, следовательно или => d =1, 9 см.

3. Вычисление абсолютных деформаций стержней.

Абсолютные деформации вычисляются по формуле, выражающей закон Гука для осевой деформации

, (3.2)

где - длина стержня,

Е - модуль продольной упругости материала стержня

ЕF - жесткость стержня при растяжении сжатии

Стержень 1:

м,

Стержень 2:

м,

Стержень 3:

м.

3.3. Задача 3 " Расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы"

Требуется:

1. Сделать чертеж конструкции по заданным размерам, соблюдая масштаб.

2. Раскрыть статическую неопределимость системы.

3. Найти усилия в стержнях 1 и 2 в зависимости от силы Р.

4. Определить в процессе увеличения силы Р ее значение, при котором напряжение в одном из стержней достигнет предела текучести.

5. Определить в процессе дальнейшего увеличения силы Р ее значение, при котором несущая способность системы будет исчерпана.

6. Найти грузоподъемность системы из расчета по методу допускаемых напряжений и методу допускаемых нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса по прочности.

Исходные данные приведены на рис. 3.5 и в таблице 3.

Рис.3.5

Таблица 3

В расчете принять МПа, 240 МПа, , где коэффициент запаса по прочности k =1, 5

Пример выполнения задачи [1]

Абсолютно жесткий диск опирается на шарнирно - неподвижную опору и поддерживается двумя стальными стержнями (рис.3.6.а). Исходные данные: .

1. Определение усилий в стержнях системы.

На рис. 3.6.б показана система сил, действующих на абсолютно жесткий диск (продольные силы , показаны положительными).

Уравнение равновесия:

Рb- (a+b)- Ÿ с=0 2, 6 N_Z1+ 1, 6 = 1, 4 Р (3.3)

Н₀=0 (3.4)

-Р+ -R ₀ - =0 - – R ₀ =P (3.5)

Два уравнения равновесия (3.3) и (3.5) содержат три неизвестные , , R ₀ – данная система статически неопределимая.

Статически неопределимыми называются задачи, которые не могут быть решены с помощью одних уравнений статики (равновесия). Для решения таких задач дополнительно составляются уравнения, в которые входят абсолютные деформации стержней системы. Такие уравнения называются уравнениями совместности деформаций. Для составления этих уравнений используется картина деформации системы.

Рис.3.6

Рис. 3.6

в)

Под действием силы Р абсолютно жесткий диск, сохраняя прямолинейную форму, поворачивается относительно шарнира опоры (показано на рис.3.6.а пунктирной линией). Шарниры А и В переместятся в новые положения А₁ и В₁. Длина отрезка АА₁ определяет абсолютную деформацию первого стержня, т.е. = l₁; аналогично = l₂. Из подобия треугольников ОАА₁ и ОВВ₁ составляется пропорция:

(3.6)

Соотношение (3.6) и есть уравнение совместности деформаций.

Примечание. В данной задаче величины l₁ и l₂ положительные (стержни 1 и 2 удлиняются). Если стержень на картине деформации укорачивается ( l < 0), то в уравнении совместности деформаций абсолютная деформация записывается со знаком минус.

Уравнение совместности деформаций с помощью закона Гука переписывается в усилиях и вместе с уравнением равновесия (3.3) образует систему уравнений, достаточную для определения всех неизвестных задачи.

или (3.7)

(3.8)