Поняття про ступені вільності

Кількість ступенів вільності показує, скільки незалежних елементів інформації, що утворились з елементів , потрібно для розрахунку даної суми квадратів.

В статистиці кількістю ступенів вільності пев­ної величини часто називають різницю між кількістю різних дослідів і кількістю констант, знайдених завдяки цим дослідам незалежно один від одного. Окреме застосування цього поняття відноситься до суми квадратів.

Розглянемо, скільки ступенів вільності має кожна визначена сума квадратів.

Почнемо із загальної суми квадратів. Для її утворення потрібно незалежних чисел, тому що з чисел незалежні тільки завдяки властивості:

Суму квадратів, що пояснює регресію, отримують, використовуючи тільки одну незалеж­ну одиницю інформації, яка утворюється з , а саме .

Покажемо, що, справді, нахил можна подати як функцію від .

Запишемо відхилення, що пояснює регресію у вигляді: . Маємо:

Отже, суму квадратів, що пояснює просту лінійну регресію, можна утворити, використовуючи тільки ну одиницю незалежної інформації, а саме (для випадку багатофакторної регресії маємо іншу ситуацію, яку розглянемо пізніше). Звідси розглядувана сума квадратів має один ступінь вільності. Потрібно звернути увагу на те, що ступінь вільності в даному разі збігається з кількістю залежних змінних, що входять у регресійну модель. Сума квадратів помилок має ступенів вільності. Ця сума базується на кількості ступенів вільності, яка дорівнює різниці між кількістю спостережень і кількістю параметрів, що оцінюються. У разі простої лінійної регресії оцінюються два параметри та . Якщо позначити кількість спостережень через , то для цієї суми квадратів маємо ступенів вільності.

У разі простої лінійної регресії ступені вільності, як і суми квадратів, можна розкласти таким чином: .

3.5. -тест Ст ’ юдента для перевірки на значимості

оцінок параметрів та , знайдених за МНК

Параметри регресії у невеликих за обсягом сукупностях здатні до випадкових коливань. Тому здійснюють перевірку їх істотності або статистичної значимості за допомогою –критерію Ст’юдента.

Можна показати, що параметри, знайдені за МНК, розподілені за нормаль­ним законом розподілу, що формалізовано можна записати таким чином:

В загальному випадку дисперсії оцінок параметрів не­відомі, тому що не можна обчислити , бо випадкові величини взагалі є не спостережуваними. Але ми можемо обчислити оцінку дисперсій , тобто знайти:

,

де , – кількість оцінених параметрів.

А потім побудувати –статистику для кожного параметра:

,

з ступенями вільності, де – оцінка параметра , отримана за МНК; – гіпотетичне значення, яке має набути параметр ; оцінки дисперсій параметрів відповідно.

В економетрії поширеною формою нуль-гіпотези є така: проти альтернативної .

В цьому разі –статистика для параметрів має вигляд:

Критичне значення критерію Ст’юдента для рівня значимості (задається дослідником) та ступенів вільності ( – кількість параметрів) знаходимо за допомогою таблиць –розподілу Ст’юдента. Якщо < , то оцінка вважається статистично значимою.

3.6. Інтервали довіри для параметрів та