Момент количества движения

В классической механике момент количества движения (его также на-зывают моментом импульса или угловым моментом) выражается в виде

31.2. Момент количества движения

161

векторного произведения радиус-вектора на импульс: = . То жесоотношение верно для операторов квантовой механики:

или по компонентам

и аналогично для других компонент. В главе 2 обсуждалось, почемуоператор проекции момента количества движения на какую-то ось связанс производной по углу поворота вокруг этой оси (см. уравнение (2.14)). Всферических координатах поворот вокруг оси z эквивалентен сдвигу поазимутальному углу , и потому оператор имеет особенно простойвид:

Выражения для других компонент и в сферических координатахдовольно сложны, и мы выпишем здесь лишь оператор квадрата моментаколичества движения:

Выражение также достаточно сложно, и мы его практическииспользовать не будем. Но даже только глядя на него, уже можно сделатьважные выводы.

В оператор входит не сам угол , а лишь производная по нему.Это означает, что коммутирует с оператором .

• Так как ось z ничем не выделена, то оператор квадрата моментаимпульса коммутирует и с операторами проекции момента импульсана любую другую ось (в частности, с . и .).

Х

х

Рис. 31.1: В верхнем ряду Г-образная фигура (а) сначала поворачивается на 90 вокругоси y(b) затем --- вокруг оси x (с). В нижнем ряду выбрана обратная последователь-ность тех же поворотов. Конечный результат (с) получился другим.

Но результат двух таких поворотов зависит от их последовательности(рис. 31.1).

Из сказанного вытекает важное следствие: одновременно измеримылишь квадрат момента импульса и одна из его проекций (в качестветаковой обычно выбирают ). Это значит, что вектор в кван-товой механике не имеет определенного направления и его нельзясчитать классическим вектором с тремя определенными компонен-тами.

Квантовый момент количества движения можно условно представитьсебе как вектор фиксированной длины (определенное значение квадратамомента импульса), направленный под фиксированным углом к оси 2(определенное значение проекции), но прецессирующий вокруг этой оси(другие компоненты не определены). Это --- не более чем механическаяаналогия, но она верно отражает существенные свойства момента им-пульса в квантовой механике.

Найдем теперь собственные функции и значения оператора . Имеемуравнение:

откуда

31.2. Момент количества движения

163

При повороте на угол 2 система возвращается в первоначальное состо-яние. Чтобы волновая функция не изменилась, необходимо выпол-нение условия =hm где m --- целое (не обязательно положительное)число. Константа А определяется условием нормировки: интеграл от| по углу , изменяющемуся от 0 до 2 , должен быть равенединице, откуда А = 1/ .

Таким образом, мы приходим к квантованию проекции момента им-пульса, которая может принимать лишь целые значения в единицах по-стоянной Планка (hm, где m = 0, 1, 2,...). Число m называют маг-нитным квантовым числом. Собственная волновая функция соот-ветствующая данному значению ш, имеет вид

По сути дела, волновая функция описывает плоскую волну, бе-гущую по окружности. Роль координаты играет угол , роль волно-вого вектора --- магнитное квантовое число т. Но значения перемен-ной ограничены пределами 0 и 2 . Наша ``круговая'' волна как-бызаключена в потенциальную яму и совершает финитное движение.Отсюда --- квантование проекции момента импульса, в соответствиис установленными выше законами квантовой механики.

Найдем теперь правила квантования квадрата момента импульса. Ре-шение соответствующего уравнения на собственные функции оператора

достаточно сложно, и мы заменим его не очень строгими, но простымисоображениями. Пусть в какой-то системе максимальная величина маг-нитного квантового числа m равна целому неотрицательному числу l. Тогда минимальное значение m, очевидно, равно --- l, так что m пробе-гает 2 l + 1 возможное значение:

m=-l.-l+l..-1.0.1 l-1.l.

В классическом случае максимально возможная проекция момента им-

пульса совпадает с модулем вектора . Но не следует ожидать, что

оператор будет иметь собственные значения /г2/2. Мы уже знаем, что даже при максимальной величине проекции момент импульса не па-раллелен оси z (иначе были бы известны все три компоненты момента).

Стало быть, собственные значения оператора должны быть больше

. Чему же они равны?

Глава 31. Теория атома

Если в пространстве нет выделенного направления, то любое значение т равновероятно, и среднее значение квадрата проекции момента на ось z равно

При выводе использовалась известная формула для суммы квадратов це-лых чисел. Заметим, что все три координатные оси равноправны, следо-вательно тот же результат справедлив для средних значений квадратовостальных операторов проекции момента импульса:

Но их сумма дает квадрат оператора момента импульса, среднее значе-ние которого равно, таким образом,

Именно этой формулой описываются собственные значения оператораквадрата момента импульса, так что условно можно считать, что длинавектора в квантовой механике равна . Целое неотрицатель-ное квантовое число l называют азимутальным квантовым числом.

Для сравнения получим тем же способом классический ответ. Если l --- максимальное значение m для классического вектора, то т пробе-гает непрерывный ряд значений от --- l до l с равной вероятностью dm/2l. Разница в том, что из-за непрерывности сумма заменяется на интеграли мы получаем:

и аналогичные выражения для двух других средних. Складывая их, при-ходим к обычному результату классической физики:

При больших значениях l оба результата совпадают (опять --- принципсоответствия Бора).

31.2. Момент количества движения

165

m = +1m = 0m = -1

Рис. 31.2: Возможные положения вектора момента импульса при l=1. Длина вектораравна , а его проекция на выделенную ось может принимать только значения 0 и 1 (в единицах h).

Главный итог этого раздела --- знакомство с правилами квантованиямомента импульса: собственное значение квадрата момента импульсаопределяется величиной азимутального квантового числа /, а проекциямомента импульса --- величиной магнитного квантового числа т, кото-рое может принимать любое из значений 0, 1,..., /. Если все-такипытаться представить себе квантовый вектор момента количества дви-жения как обычный вектор, то можно сказать, что при данной длинеэтого вектора он составляет с выделенной осью лишь строго определен-ные углы (рис. 31.2). Подчеркнем еще раз, что эта картинка --- всеголишь попытка изобразить квантовые свойства в классических образах.

Задача 31.25. Показать, что согласно квантовой механике направлениемомента импульса не может совпадать с выделенным в пространственаправлением и что в пределе больших азимутальных чисел l 1 вос-станавливаются классические свойства.

Решение. Поскольку модуль вектора момента импульса принимает зна-чения h , а его проекция на выделенное направление равна / hm, m =- l. - l +1 l, -1, l, то можно ввести угол между направлениеммомента импульса и выделенной осью, так что соs будет приниматьлишь определенные значения

Отсюда следует, что минимальное значение угла определяется макси-мальным значением его косинуса, достигаемым при т = l:

Видно, что при любом конечном значении l угол не равен нулю. Напри-мер, для р --- состояний l= 1 и cos = 1 / , то есть = 45 , а для

Глава 31. Теория атома

f --- состояний с l = 3 имеем соs min = и min = 30 . Видно, что

с ростом l минимальный угол между моментом импульса и осью умень-шается и в пределе l >? получаем min = 0. Это и есть классическоесвойство момента импульса: способность быть в точности параллельнымлюбому выделенному направлению. ¦

• Атом водорода

Стационарное уравнение Шредингера для водородоподобного атома (одинэлектрон около ядра с зарядом Zе ) имеет вид:

Разумеется, мы не станем решать это уравнение, но просто внимательнона него посмотрим.

Заметим, что та часть уравнения, которая зависит от углов, вхо-дит только в составе оператора квадрата момента импульса. До-вольно ясен физический смысл этого члена. Представим себе, что в полецентральных сил по орбите радиусом г движется классическая частица симпульсом . Ее момент количества движения равен , где --- проекция импульса на направление, ортогональное радиус-вектору r. Обозначим кинетическую энергию ``ортогональ-ного'' движения. Ее можно выразить через квадрат момента количествадвижения:

Этот член добавляется к потенциальной энергии кулоновского притяже-ния к ядру и его можно интерпретировать как потенциальную энергиюв поле центробежных сил. Действительно, если --- потенциальнаяэнергия, то ее производная по r должна дать соответствующие силы:

Это уравнение удобно записать в сферических координатах:

31.3. Атом водорода

167

В конечном выражении легко узнать известную из классической меха-ники формулу для центробежной силы. Квантовая механика, как это идолжно быть, воспроизводит на новом уровне результаты классической: теперь момент импульса стал оператором, но вошел на прежних правахв выражение для оператора полной энергии (гамильтониана).

Любой оператор коммутирует сам с собой, и так как оператор ква-драта момента вообще не зависит от радиальной переменной r,

то коммутирует с гамильтонианом из уравнения Шредингера.

Кроме того, оператор проекции момента импульса коммутирует с и, стало быть, с гамильтонианом. Следовательно, выполняются класси-ческие законы сохранения квадрата и одной проекции момента импульса.Эти законы сохранения справедливы для любого центрально-симметрич-ного поля: специфика кулоновского взаимодействия пока нами не исполь-зовалась. Поэтому проекция и квадрат момента могут быть определеныодновременно с энергией и волновая функция стационарного состояниябудет зависеть от квантовых чисел l и m. Однако в уравнении Шре-дингера гамильтониан вовсе не зависит от оператора проекциимомента импульса. Это значит, что энергия состояния не будет зависетьот магнитного квантового числа m. Иными словами, в любом централь-но-симметричном поле имеется вырождение по т, кратность которогоравна 2l + 1. Мы уже знаем, что источником вырождения должна слу-жить та или иная симметрия. В классической физике движение частицыв центрально-симметричном поле всегда происходит по орбите, лежащейв одной плоскости. Но сама эта плоскость может быть произвольной взависимости от начального положения и скорости частицы. Ясно, чтозначение полной энергии частицы не зависит при этом от ориентацииплоскости орбиты в пространстве. Это и есть искомая симметрия, при-водящая к вырождению по магнитному квантовому числу.

В кулоновском поле (равно как и в гравитационном) имеется еще односпецифическое вырождение, приводящее к тому, что энергия системы независит и от квантового числа l. Вспомним опять классическую физику.В кулоновском поле финитное движение частицы совершается только поэллипсу. Возьмем в качестве аналогии искусственный спутник. Поме-стим его на каком-то расстоянии от Земли (т.е. зададим потенциаль-ную энергию) и придадим ему какую-то скорость (зададим кинетиче-скую энергию). Таким образом, мы задали полную энергию спутника.Но определена ли его орбита? Разумеется, нет! При той же полной энер-

Глава 31. Теория атома

гии направление скорости влияет на форму орбиты --- от прямой линии(вертикальное падение) при нулевом моменте импульса до максимальновозможного при данной полной энергии. Нулевой момент соответствуетчисто радиальным колебаниям сквозь центр притяжения, когда вовсе неткругового движения и эллипс вырождается в прямую линию (для спут-ника такое колебание невозможно, но микрочастицы --- иное дело). Мак-симально возможный момент импульса достигается в обратном случаечисто круговой орбиты, когда совсем нет радиального движения. Важно, что его величина зависит от полной энергии спутника.

Итак, классическая физика подсказывает нам следующие свойства ре-шений уравнения Шредингера:

• Энергия электрона не должна зависеть от квантовых чисел l, т.

• Квантовое число l должно пробегать ряд целых значений от нулевогодо максимального.

• Максимальное значение l должно зависеть от энергии электрона.

Вооружившись знанием классической механики, мы можем смело при-ступать к изучению квантовой. Теперь станут понятны свойства реше-ний уравнения Шредингера для атома водорода. Его решениями явля-ются волновые функции, нумеруемые тремя квантовыми числами: п, l, m. Про l и m уже много говорилось, ап --- знакомое нам по атому Бораглавное квантовое число, принимающее целые положительные значения.Разным наборам чисел п, l, m отвечают разные волновые функции, видкоторых нам сейчас не важен.

Задача 31.26. Волновая функция основного состояния электрона в атомеводорода имеет вид

Найти вероятности W1 и W2 обнаружить электрон внутри сфер радиу-сами аB и 2аB.

Решение. Вероятность обнаружить электрон в элементе объема равна . Так как волновая функция основного состояния независит от направления радиус-вектора , а лишь от его величины r, томожно написать выражение для вероятности dWr обнаружить электрон вшаровом слое радиусом r и толщиной dr. Объем этого слоя равен 4 r2 dr

31.3. Атом водорода

169

(площадь поверхности, умноженная на толщину). Именно им надо заме-нить элемент объема в dW, чтобы получить dWr:

dWr = 4 r2| (r) | 2 dr.

Теперь надо проинтегрировать вероятность dWr по всем значениям r от 0 до R, получив вероятность W (R) найти электрон внутри сферырадиусом R:

Интеграл берется точно, и в результате получаем:

откуда находим: W1 = W (аB) = 1 --- 5/е2? 0.323, W2? W(2 аB)

Е4? 0.762.

Разность W2 --- W1? 0.439 дает вероятность найти электрон междусферами с радиусами аB и 2аB. Видно, что численно эта вероятностьимеет тот же порядок величины, что и вероятность W1. Зато вероятностьобнаружить электрон за пределами сферы радиусом 2аB заметно суще-ственно меньше: она равна, как нетрудно догадаться, 1 --- W2? 0.238.Иными словами, с вероятностью более 76% электрон в основном состоя-нии пребывает на расстоянии не более двух радиусов Бора. ¦