Решение типового примера. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

где – данные непрерывные функции.

При решении уравнения применяем подстановку , где – искомые дифференцируемые функции. Подcтавляя вместо производной , получаем уравнение

или .

Подбираем так, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль, тогда данное уравнение преобразуется к двум уравнениям с разделяющимися переменными и .

П р и м е р. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию .

Р е ш е н и е.Подставляем в данное уравнение , или . Получаем два уравнения с разделяющимися переменными и . Из первого уравнения находим функцию , подставляя , имеем или . Интегрируя уравнение, получаем .

Из второго уравнения находим функцию , подставляя , имеем или . Интегрируя уравнение, получаем .

Найденные функции подставляем в выражение , находим общее решение исходного дифференциального уравнения или .

Подставляем начальное условие в общее решение, получаем , отсюда .

Найденное значение произвольной постоянной подставляем в общее решение, получаем искомое частное решение .