Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Модель потребительского выбора. Функции полезности
При изучении поведения потребителя задача заключается в том, чтобы установить, в каких объемах он приобретает товары (или услуги) при заданных ценах и доходе. В общем виде [2, 3, 7, 8] спрос определяется как вектор-функция многих переменных
, (7.1)
где – набор товаров ( ), которые может приобрести потребитель, имеющийся у потребителя доход, – вектор цен товаров ( – цена единица -го товара ).
Основной подход [2, 3, 7, 8] к построению функции спроса (7.1) основан на функции полезности
(7.2)
в предположении, что она обладает следующими свойствами:
№
| Свойство функции
| Экономический смысл свойства
|
|
| С ростом потребления товара полезность растет ( предельная полезность товара )
|
|
| Небольшой прирост -го блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность
|
|
| При очень большом объеме -го блага его дальнейшее увеличение не приводит к увеличению полезности
|
|
| С ростом потребления -го блага скорость роста полезности замедляется, функция выпукла вверх (закон убывания предельной полезности, закон Госсена)
|
|
| Матрица Гессе определенно-отрицательна (функция полезности является выпуклой вверх)
| Приведем примеры функций полезности ( , интерпретируется как минимально необходимое количество -го блага; – коэффициент, характеризующий относительную ценность -го блага для потребителя):
№
| Название функции
| Аналитический вид функции полезности
|
| Логарифмическая
| , , , ( )
|
| Мультипликативная функция Р. Стоуна
| , , , ( )
|
| Аддитивная функция
Р. Стоуна
| , , , ( )
|
| Функция Торнквиста
(двух переменных)
|
| Поверхностью безразличия называют гиперповерхность размерности , на которой полезность постоянна: или
. (7.3)
Условие (7.3) означает, что касательная к поверхности безразличия перпендикулярна к градиенту функции полезности.
Бюджетным множеством называют множество товаров , которые может приобрести потребитель, имея доход . Уравнение гиперповерхности
,
ограничивающей бюджетное множество, называется линией бюджетного ограничения.
Задача потребителя – максимизировать значение функции полезности на бюджетном множестве (ее решение определяет оптимальный спрос потребителя на данные товары).
Доказано [3], что функция , удовлетворяющая свойствам 1 – 5, достигает экстремума на линии бюджетного ограничения, что приводит к задаче нахождения условного максимума функции полезности:
.
Задача сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа
. (7.4)
В силу свойств функции полезности (7.2) необходимые условия экстремума
(7.5)
являются и достаточными условиями экстремума.
Они определяют единственную точку максимума функции Лагранжа (7.4), т.е. единственную точку условного максимума функции полезности при условии . Точка называется точкой локального рыночного равновесия.
Пример 7.1. Определить, какой оптимальный набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300 д.е., если функция полезности . Цены товаров равны соответственно , , д.е.
Решение. Рабочий лист Maple имеет вид:
[> restart; a[1]: =1/3: a[2]: =1/3: a[3]: =1/3: p[1]: =2:
p[2]: =4: p[3]: =1: Imax: =300:
/решаем задачу путем введения функции Лагранжа/
[> U: =((Q[1])^(a[1]))*((Q[2])^(a[2]))*((Q[3])^(a[3]));
budget_ogran: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]+p[3]*Q[3]-Imax;
L: =U-lambda*budget_ogran;
[> sys: ={diff(L, Q[1])=0, diff(L, Q[2])=0, diff(L, Q[3])=0,
diff(L, lambda)=0}:
/находим оптимальное распределение товаров, точку локального рыночного равновесия/
[> optimal: =solve(sys, {Q[1], Q[2], Q[3], lambda}):
[> evalf(optimal[1]); evalf(optimal[2]); evalf(optimal[3]);
evalf(optimal[4]);
/решаем исходную задачу условного экстремума с помощью команды Maximize из пакета Optimization/
[> restart; with(Optimization): a[1]: =1/3: a[2]: =1/3:
a[3]: =1/3: p[1]: =2: p[2]: =4: p[3]: =1: Imax: =300:
[> U: =((Q[1])^(a[1]))*((Q[2])^(a[2]))*((Q[3])^(a[3]));
budget_ogran: =p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]+p[3]*Q[3]< =Imax;
[> Optimal_Q: =Maximize(U, {p[1]*Q[1]+p[2]*Q[2]+p[3]*Q[3]< =Imax},
assume=nonnegative);
|
|