Производственные функции, их основные характеристики

Математическое моделирование деятельности производителя имеет три основные задачи: моделирование производственных функций, решение задачи о максимизации прибыли от производственной деятельности и поведение производителя при изменении цен на ресурсы и выпуск продукции.

Производственной функцией (ПФ) называют зависимость результата производства от затрат ресурсов. Независимые переменные принимают значения объемов используемых факторов производства (ресурсов); зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции.

Пусть предприятие выпускает один вид продукции, общий объем которой называется выпуском. В качестве факторов производства используются накопленные производственные фонды (капитал) и труд (число занятых на предприятии) . То есть рассматривается двухфакторная ПФ

, . (8.1)

ПФ (8.1) называется статической, если фактор времени не входит в нее явно, а параметры функции считаются неизменными в течение рассматриваемого промежутка времени. ПФ (8.1) называется динамической, если время явно входит в нее в качестве фактора, влияющего на объем выпуска (например, учитывается НТП) и/или параметры ПФ зависят явно от времени.

Предполагается, что ПФ (8.1) удовлетворяет ряду условий, отражающих определенные экономические факты производства:

1) (при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно);

2) , (с увеличением объема затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет);

3) (увеличение объема какого-либо ресурса при неизменном объеме другого ресурса приводит к увеличению выпуска);

4) (с увеличением объема затрат ресурсов скорость роста выпуска замедляется, закон убывающей эффективности производства);

5) (при увеличении объема затрат одного ресурса при неизменном количестве другого предельная эффективность возрастает);

6) (однородность ПФ, – степень однородности). Свойство расширения производственных возможностей, означающее отсутствие структурных и качественных сдвигов;

7) графиком двухфакторной ПФ является двумерная поверхность. Линии уровня ПФ называются изоквантами (линиями постоянного уровня производства). При выполнении свойств 1–6 ПФ является выпуклой вверх, ее линии уровня – выпуклыми вниз.

ПФ называется неоклассической, если она является гладкой на множестве и удовлетворяет перечисленным выше условиям.

Укажем наиболее важные характеристики ПФ. Используя их, можно получить экономическую интерпретацию параметров ПФ и основные характеристики производства ([2, 3, 8]):

1) – средняя фондоотдача, средняя производительность труда и фондовооруженность соответственно;

2) , – предельная эффективность фондов (предельный продукт фондов) и предельный продукт труда (предельная эффективность труда) соответственно;

3) , – коэффициент эластичности продукции выпуска по капиталу и труду соответственно.

Он показывает, на сколько % увеличится выпуск, если данный фактор возрастет на 1%. При () имеет место трудосберегающий (интенсивный) [ фондосберегающий (экстенсивный)] рост производства;

4) – эластичность производства;

5) – предельные нормы замены (замещения) труда фондами и фондов трудом соответственно;

6) () – эластичности замещения (замены) труда капиталом и капитала трудом. Эластичность показывает, на сколько % нужно изменить фондовооруженность , чтобы добиться изменения нормы замены на 1 % так, чтобы выпуск при этом не изменился ();

7) изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изоклинали ортогональны изоквантам (линиям нулевого роста, ). Так как направление наибольшего роста в точке задается градиентомПФ

,

то уравнение изоклинали имеет вид: .

Замечание 8.1. На практике при вычислении эластичности удобнее не переходить к фондовооруженности, а использовать формулу [11, С. 313]

, (8.2)

где матрица имеет вид

Наиболее часто в экономико-математическом моделировании используются мультипликативные ПФ и функции CES(см. табл. 8.1), так как они наиболее адекватно характеризуют реальное производство. Для получения аналитических выражений реальных ПФ используются методы анализа временных рядов и статистической обработки данных [11].

Таблица 8.1.

№	Формула	Название ПФ	Характеристики
	, , ,	Мультипликативная неоклассическая (МПФ)	– параметр нейтрального НТП, , ,
	, ,	Функция Кобба-Дугласа неоклассическая (МПФКД)	, ,
	, , , ,	Функция с постоянной эластичностью замещения (ПФ CES)

Исследуем средствами Maple конкретную ПФ.

Пример 8.1. Рассмотрим найденную по данным 1960-1995 гг. МПФ валового внутреннего продукта США

.

Найти основные характеристики этой функции, построить соответствующую поверхность, найти уравнения изоквант и построить карту изоквант.