Максимизация прибыли от производства одного вида продукции

Пусть выпуск некоторого вида продукции описывается ПФ (8.1). Доходом (выручкой) предприятия в определенном временном периоде называют произведение общего объема выпускаемой предприятием продукции и рыночной цены этой продукции. Издержками фирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат. Линию уровня функции издержек называют изокостой.

Замечание 8.2. Часто в экономическом анализе считают, что функция издержек линейно зависит от объемов затрачиваемых ресурсов:

,

где , – рыночные цены на ресурсы.

Прибылью предприятия называется разность между полученным предприятием доходом и его издержками производства

. (8.3)

Точку называют оптимальным распределением ресурсов (оптимальным планом производства, локальным рыночным равновесием фирмы), если в ней функция прибыли (8.3) принимает максимальное значение.

В случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли формулируется так: найти оптимальное распределение ресурсов и максимум функции прибыли на множестве :

.

Эта задача на отыскание условного экстремума функции в области . Известно [10], что необходимое условие безусловного экстремума функции (8.3) в точке имеет вид:

(8.4)

Согласно системе (8.4) предельная норма замены в точке оптимального распределения ресурсов вычисляется по формуле

.

Замечание 8.3. Если , где , – факторные цены на ресурсы (капитал и труд соответственно), то (в точке локального рыночного равновесия в случае линейной функции издержек предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению цен к этим ресурсы).

Решив систему (8.4), можно найти оптимальное распределение ресурсов:

. (8.5)

Функции (8.5) называются функциями спроса на ресурсы. Их значения выражают оптимальные выборы затрат ресурсов как функций цены выпускаемой продукции и цен на ресурсы. При этом функция

(8.6)

называется функцией предложения выпуска.

Если издержки не должны превышать некоторой заданной величины , то задача максимизации прибыли в случае краткосрочного промежутка ставится так: найти оптимальное распределение ресурсов и максимум функции прибыли (8.3) на множестве при условии :

. (8.7)

В силу ограничений (см. пункт 8.1) производственная функция и множество, образованное при условии , являются выпуклыми. Тогда задачу (8.7) на условный экстремум можно заменить более простой для решения:

. (8.8)

Задача (8.8) решается с использованием метода множителей Лагранжа . Множество решений при всевозможных значениях образует линию долговременного развития фирмы.

Замечание 8.4.В теории фирмы доказано, что значение множителя Лагранжа в решении задачи (8.8) обратно пропорционально значению рыночной цены единицы выпускаемой продукции: .

Пример 8.2. ПФ CES некоторого предприятия имеет вид:

,

цена единицы продукции 2, 5 денежных единиц (д.е.), функция издержек линейна, стоимость аренды единицы производственных фондов 1, 5 д.е., ставка заработной платы 2 д.е. на человека.

Найти функции спроса на ресурсы (8.5), функцию предложения выпуска (8.6), оптимальное распределение ресурсов и соответствующую ему прибыль от производства в долгосрочном периоде и в краткосрочном периоде (в последнем случае затраты ресурсов ограничены величиной 20 д.е.).

Решение. В программе введены следующие переменные.

Переменная	Назначение, описание
F, C, Pribyl	ПФ CES, функции издержек и прибыли соответственно
Gradient_Pribyl	Градиент функции прибыли , необходим для решения системы (8.4)
Optimal_Raspred	Вектор оптимального распределения, являющийся решением системы (8.4)
Gesse, Gessian	Матрица Гессе (матрица вторых производных) для функции прибыли, гессиан (определитель матрицы Гессе) соответственно
Delta[1], Delta[2]	Главные миноры матрицы Гессе (используются для проверки достаточного условия точки максимума функции прибыли)
DK, DL, S	Функции спроса на ресурсы, функция предложения
Function_Lagrang	Функция Лагранжа для задачи максимизации прибыли в случае краткосрочного промежутка
Maximum_Pribyl	Максимальное значение функции прибыли
Optimal_Raspred2	Вектор оптимального распределения для задачи максимизации прибыли в случае краткосрочного промежутка

Далее представлен текст программы в среде Maple.

/нахождение функций спроса и предложения в долгосрочном периоде/ [> restart; with(plots): with(LinearAlgebra): Digits: =4: [> F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho): C: =w[1]*K+w[2]*L: Pribyl: =P*F-C; [> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: F: =F; plot3d([F], K=0..20, L=0..30); [> Gradient_Pribyl: ={diff(Pribyl, K), diff(Pribyl, L)}; sys: ={Gradient_Pribyl[1]=0, Gradient_Pribyl[2]=0}: Optimal_Raspred: =solve(sys, {K, L}); [> G[1, 1]: =diff(Gradient_Pribyl[1], K): G[1, 2]: =diff(Gradient_Pribyl[1], L): G[2, 1]: =diff(Gradient_Pribyl[2], K): G[2, 2]: =diff(Gradient_Pribyl[2], L): [> Gesse: =Matrix(2, 2, [[G[1, 1], G[1, 2]], [G[2, 1], G[2, 2]]]); Gessian: =simplify(Determinant(Gesse)); [> DK: =rhs(Optimal_Raspred[1]); DL: =rhs(Optimal_Raspred[2]); K: =DK: L: =DL: S: =simplify(F); [> w[1]: =1.5: w[2]: =2: P: =2.5: [> K: =rhs(Optimal_Raspred[1]); L: =rhs(Optimal_Raspred[2]); Maximum_Pribyl: =evalf(Pribyl); [> Delta[1]: =evalf(G[1, 1]); Delta[2]: =evalf(Gessian); /нахождение функций спроса и предложения в краткосрочном периоде/ [> restart; with(Optimization): Digits: =4: [> F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho): C: =w[1]*K+w[2]*L: Pribyl: =P*F-C: [> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: w[1]: =1.5: w[2]: =2: P: =2.5: [> Pribyl: =Pribyl; plot3d([Pribyl], K=0..10, L=0..10); [> Max_Pribyl: =Maximize(Pribyl, {}, assume=nonnegative); /нахождение функций спроса и предложения в краткосрочном периоде/ [> restart; with(plots): with(LinearAlgebra): Digits: =4: [> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: C: =w[1]*K+w[2]*L: F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho); Pribyl: =P*F-C; Function_Lagrang: =P*F-lambda*(C-C0); [> Gradient_Function_Lagrang: ={diff(Function_Lagrang, K), diff(Function_Lagrang, L), diff(Function_Lagrang, lambda)}; sys2: ={Gradient_Function_Lagrang[1]=0, Gradient_Function_Lagrang[2]=0, Gradient_Function_Lagrang[3]=0}: Optimal_Raspred2: =solve(sys2, {K, L, lambda}); [> DK: =rhs(Optimal_Raspred2[1]); DL: =rhs(Optimal_Raspred2[2]); K: =DK: L: =DL: S: =simplify(F); [> w[1]: =1.5: w[2]: =2: P: =2.5: C0: =20: K: =rhs(Optimal_Raspred2[1]); L: =rhs(Optimal_Raspred2[2]); lambda[0]: =evalf(rhs(Optimal_Raspred2[3])); Maximum_Pribyl2: =evalf(Pribyl);