Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Максимизация прибыли от производства одного вида продукции
Пусть выпуск некоторого вида продукции описывается ПФ (8.1). Доходом (выручкой) предприятия в определенном временном периоде называют произведение общего объема выпускаемой предприятием продукции и рыночной цены этой продукции. Издержками фирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат. Линию уровня функции издержек называют изокостой.
Замечание 8.2. Часто в экономическом анализе считают, что функция издержек линейно зависит от объемов затрачиваемых ресурсов:
,
где , – рыночные цены на ресурсы.
Прибылью предприятия называется разность между полученным предприятием доходом и его издержками производства
. (8.3)
Точку называют оптимальным распределением ресурсов (оптимальным планом производства, локальным рыночным равновесием фирмы), если в ней функция прибыли (8.3) принимает максимальное значение.
В случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли формулируется так: найти оптимальное распределение ресурсов и максимум функции прибыли на множестве :
.
Эта задача на отыскание условного экстремума функции в области . Известно [10], что необходимое условие безусловного экстремума функции (8.3) в точке имеет вид:
(8.4)
Согласно системе (8.4) предельная норма замены в точке оптимального распределения ресурсов вычисляется по формуле
.
Замечание 8.3. Если , где , – факторные цены на ресурсы (капитал и труд соответственно), то (в точке локального рыночного равновесия в случае линейной функции издержек предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению цен к этим ресурсы).
Решив систему (8.4), можно найти оптимальное распределение ресурсов:
. (8.5)
Функции (8.5) называются функциями спроса на ресурсы. Их значения выражают оптимальные выборы затрат ресурсов как функций цены выпускаемой продукции и цен на ресурсы. При этом функция
(8.6)
называется функцией предложения выпуска.
Если издержки не должны превышать некоторой заданной величины , то задача максимизации прибыли в случае краткосрочного промежутка ставится так: найти оптимальное распределение ресурсов и максимум функции прибыли (8.3) на множестве при условии :
. (8.7)
В силу ограничений (см. пункт 8.1) производственная функция и множество, образованное при условии , являются выпуклыми. Тогда задачу (8.7) на условный экстремум можно заменить более простой для решения:
. (8.8)
Задача (8.8) решается с использованием метода множителей Лагранжа . Множество решений при всевозможных значениях образует линию долговременного развития фирмы.
Замечание 8.4.В теории фирмы доказано, что значение множителя Лагранжа в решении задачи (8.8) обратно пропорционально значению рыночной цены единицы выпускаемой продукции: .
Пример 8.2. ПФ CES некоторого предприятия имеет вид:
, 
цена единицы продукции 2, 5 денежных единиц (д.е.), функция издержек линейна, стоимость аренды единицы производственных фондов 1, 5 д.е., ставка заработной платы 2 д.е. на человека.
Найти функции спроса на ресурсы (8.5), функцию предложения выпуска (8.6), оптимальное распределение ресурсов и соответствующую ему прибыль от производства в долгосрочном периоде и в краткосрочном периоде (в последнем случае затраты ресурсов ограничены величиной 20 д.е.).
Решение. В программе введены следующие переменные.
Переменная
| Назначение, описание
| F, C, Pribyl
| ПФ CES, функции издержек и прибыли соответственно
| Gradient_Pribyl
| Градиент функции прибыли , необходим для решения системы (8.4)
| Optimal_Raspred
| Вектор оптимального распределения, являющийся решением системы (8.4)
| Gesse, Gessian
| Матрица Гессе (матрица вторых производных) для функции прибыли, гессиан (определитель матрицы Гессе) соответственно
| Delta[1], Delta[2]
| Главные миноры матрицы Гессе (используются для проверки достаточного условия точки максимума функции прибыли)
| DK, DL, S
| Функции спроса на ресурсы, функция предложения
| Function_Lagrang
| Функция Лагранжа для задачи максимизации прибыли в случае краткосрочного промежутка
| Maximum_Pribyl
| Максимальное значение функции прибыли
| Optimal_Raspred2
| Вектор оптимального распределения для задачи максимизации прибыли в случае краткосрочного промежутка
| Далее представлен текст программы в среде Maple.
/нахождение функций спроса и предложения в долгосрочном периоде/
[> restart; with(plots): with(LinearAlgebra): Digits: =4:
[> F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho):
C: =w[1]*K+w[2]*L: Pribyl: =P*F-C;
[> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: F: =F;
plot3d([F], K=0..20, L=0..30);
[> Gradient_Pribyl: ={diff(Pribyl, K), diff(Pribyl, L)};
sys: ={Gradient_Pribyl[1]=0, Gradient_Pribyl[2]=0}:
Optimal_Raspred: =solve(sys, {K, L});
[> G[1, 1]: =diff(Gradient_Pribyl[1], K):
G[1, 2]: =diff(Gradient_Pribyl[1], L):
G[2, 1]: =diff(Gradient_Pribyl[2], K):
G[2, 2]: =diff(Gradient_Pribyl[2], L):
[> Gesse: =Matrix(2, 2, [[G[1, 1], G[1, 2]], [G[2, 1], G[2, 2]]]);
Gessian: =simplify(Determinant(Gesse));
[> DK: =rhs(Optimal_Raspred[1]); DL: =rhs(Optimal_Raspred[2]);
K: =DK: L: =DL: S: =simplify(F);
[> w[1]: =1.5: w[2]: =2: P: =2.5:
[> K: =rhs(Optimal_Raspred[1]); L: =rhs(Optimal_Raspred[2]);
Maximum_Pribyl: =evalf(Pribyl);
[> Delta[1]: =evalf(G[1, 1]); Delta[2]: =evalf(Gessian);
/нахождение функций спроса и предложения в краткосрочном периоде/
[> restart; with(Optimization): Digits: =4:
[> F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho):
C: =w[1]*K+w[2]*L: Pribyl: =P*F-C:
[> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: w[1]: =1.5: w[2]: =2:
P: =2.5:
[> Pribyl: =Pribyl; plot3d([Pribyl], K=0..10, L=0..10);
[> Max_Pribyl: =Maximize(Pribyl, {}, assume=nonnegative);
/нахождение функций спроса и предложения в краткосрочном периоде/
[> restart; with(plots): with(LinearAlgebra): Digits: =4:
[> A: =2.5: alpha: =1/3: rho: =-0.75: g: =0.75: C: =w[1]*K+w[2]*L:
F: =A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho);
Pribyl: =P*F-C; Function_Lagrang: =P*F-lambda*(C-C0);
[> Gradient_Function_Lagrang: ={diff(Function_Lagrang, K),
diff(Function_Lagrang, L), diff(Function_Lagrang, lambda)};
sys2: ={Gradient_Function_Lagrang[1]=0,
Gradient_Function_Lagrang[2]=0,
Gradient_Function_Lagrang[3]=0}:
Optimal_Raspred2: =solve(sys2, {K, L, lambda});
[> DK: =rhs(Optimal_Raspred2[1]); DL: =rhs(Optimal_Raspred2[2]);
K: =DK: L: =DL: S: =simplify(F);
[> w[1]: =1.5: w[2]: =2: P: =2.5: C0: =20: K: =rhs(Optimal_Raspred2[1]);
L: =rhs(Optimal_Raspred2[2]);
lambda[0]: =evalf(rhs(Optimal_Raspred2[3]));
Maximum_Pribyl2: =evalf(Pribyl);
|
|