С запаздыванием спроса и с запаздыванием предложения

Задача поиска равновесной цены представляет собой торг между производителем и покупателем. В процессе торга возникает последовательность , состоящая из называемых производителем и покупателем цен. В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики цен происходит либо запаздывание спроса (назовем ее модель А), либо запаздывание предложения (назовем ее модель В).

В табл. 9.1 представлены сравнительные характеристики этих моделей.

Таблица 9.1.

Характеристики	Модель с запаздыванием спроса (модель А)	Модель с запаздыванием предложения (модель В)
Модель предложения	Предложение определяется по уровню цен предыдущего периода (товаропроизводитель прогнозирует цену следующего периода)	Предложение определяется по уровню спроса предыдущего периода (товаропроизводитель ориентируется на спрос за предыдущий период)
Модель потребления	Потребляется все, что предлагается	Потребление не превосходит ни предложение, ни спрос: .
Модель ценообразования	Цена задается из условия равновесия в соответствии с функцией спроса	Цена устанавливается из условия равновесия в соответствии с функцией предложения
Вид (формула) итерационного процесса	,	,

Продолжение таблицы 9.1.

Алгоритм “нащупывания” равновесной цены	1. Товаропроизводитель по значению цены с помощью кривой потребления определяет . 2. В силу модели ценообразования на рынке устанавливается цена в соответствии с кривой спроса, причем есть решение уравнения . 3. Товаропроизводитель, ориентируясь на цену , определяет объем предложения . 4. Рассмотренный процесс повторяется. Получаем последовательность цен .	1. На первом шаге при цене имеет место избыточный спрос: . Потребление равно предложению: . Товаропроизводитель теряет часть прибыли (цена занижена, предложено товара меньше, чем могло быть продано). 2. На втором шаге товаропроизводитель устанавливает цену , используя кривую потребления ( – решение уравнения ). 3. Цене соответствует спрос . Потребление равно спросу: (часть предложенного товара не находит покупателя из-за высокой цены, товаропроизводитель теряет часть прибыли). 4. На третьем шаге для сохранения предложения цена снижается до уровня (решение уравнения , определяется по кривой потребления ). 5. Рассмотренный процесс повторяется. Получаем последовательность цен .
Условие сходимости итерационного процесса к	, равновесная цена устойчива	, равновесная цена устойчива
Условие расходимости итерационного процесса	, равновесная цена неустойчива	, равновесная цена неустойчива

Окончание таблицы 9.1.

Статическая модель Эванса
сходится при	сходится при

На плоскости (см. рис. 9.2) соответствующий процесс поиска равновесной цены модели А изображается в виде «паутины», которая «намотана» на кривые спроса и предложения. Это дало основание для названия модели – паутинная модель.

Рис. 9.2.

Пример 9.1. Даны логистическая функция спроса

и функции предложения

, .

1. Найти равновесную цену для модели «спрос-предложение» , исследовать на сходимость и построить последовательность цен , пользуясь моделью с запаздыванием спроса (модель А).

2.Найти равновесную цену для модели «спрос-предложение»

, исследовать на сходимость и построить последовательность цен , пользуясь моделью с запаздыванием предложения (модель В).

Решение. В программе на Maple используем следующие переменные.

Переменная	Назначение, описание
Function_D	Исходная функция спроса
Function_S[1]	Исходная функция предложения
Function_S[2]	Исходная функция предложения
Elast_D, Elast_S	Эластичности функций спроса и предложения по цене
P_Ravnoves	Значение равновесной цены
P[t]	последовательность цен , являющихся решениями уравнений и
Q[t]	Значения функции предложения и функции спроса при значении цены
Points_P	Массив точек (цен)
Points_Q	Массив точек (объемов предложений)

В программе используется структура цикла for с предопределенным количеством шагов N. Блок-схема этого цикла для решения задачи пункта 1 (схема реализует процесс “нащупывания” равновесной цены в случае модели А) изображена на рис.9.3. На выходе из цикла мы имеем последовательность цен и соответствующих значений функции предложения . Подобную блок-схему можно составить и для реализации процесса “нащупывания” равновесной цены в случае модели В.

Рис. 9.3.

Текст программы по решению пункта 1 в среде Maple имеет вид:

[> restart; Digits: =5: [> Function_D: =a[1]/(a[2]+a[3]*exp(-a[4]/P)): a[1]: =200: a[2]: =3: a[3]: =5: a[4]: =2: Function_D: =Function_D; Function_S[1]: =3*sqrt(P)+30: Function_S[1]: =Function_S[1]; /строим графики функций спроса и предложения, точка их пересечения – точка равновесной цены/ [> plot([Function_D, Function_S[1]], P=0..30, thickness=4, color=black); /вычисляем эластичности функций спроса и предложения при равновесной цене, коэффициент k. При равновесная цена устойчива, итерационный процесс сходится/ [> Elast_D: =diff(Function_D, P)/(Function_D/P); Elast_S: =diff(Function_S[1], P)/(Function_S[1]/P); [> P_Ravnoves: =fsolve(Function_D=Function_S[1], P=0..infinity); P: =P_Ravnoves: Q_Ravnoves: =Function_D; [> Elast_D: =simplify(Elast_D); Elast_S: =simplify(Elast_S); k: =abs(Elast_S/Elast_D); [> P: ='P': Function_D: =a[1]/(a[2]+a[3]*exp(-a[4]/P)): Function_S[1]: =3*sqrt(P)+30: /составляем цикл по нахождению последовательности цен/ [> N: =40: [> P[1]: =P_Ravnoves-1: P: =P[1]: Q[1]: =Function_S[1]: Point_P[1]: =P_Ravnoves-1: Point_Q[1]: =Q[1]: for t from 2 by 1 to N do P: ='P': P[t]: =fsolve(Function_D=Q[t-1]); Point_P[t]: =P[t]; P: =P[t]; Q[t]: =Function_S[1]; Point_Q[t]: =Q[t]; end do: [> t: ='t': Points_P: =[[t, Point_P[t]] $t=1..N]; [> Points_Q: =[[t, Point_Q[t]] $t=1..N]; /выводим результаты вычислений/ [> plot(Points_P, i=1..N, style=line, thickness=4, color=black, view=[1..N, P_Ravnoves-1..P_Ravnoves+1]); plot(Points_Q, i=1..N, style=line, thickness=4, color=black, view=[1..N, Q_Ravnoves-1..Q_Ravnoves+1]);

Текст программы по решению пункта 2 в среде Maple имеет вид:

[> P: ='P': Function_D: =a[1]/(a[2]+a[3]*exp(-a[4]/P)): Function_D: =Function_D; Function_S[2]: =P*P+30: Function_S[2]: =Function_S[2]; [> plot([Function_D, Function_S[2]], P=0..10, thickness=4, color=black); [> Elast_D: =diff(Function_D, P)/(Function_D/P); Elast_S: =diff(Function_S[2], P)/(Function_S[2]/P); [> P_Ravnoves: =fsolve(Function_D=Function_S[2], P=0..infinity); P: =P_Ravnoves: Q_Ravnoves: =Function_D; Q_Ravnoves: =Function_S[2]; [> Elast_D: =simplify(Elast_D); Elast_S: =simplify(Elast_S); k: =abs(Elast_S/Elast_D); [> P: ='P': Function_D: =a[1]/(a[2]+a[3]*exp(-a[4]/P)): Function_S[2]: =P*P+30: [> P[1]: =P_Ravnoves+1: P: =P[1]: Q[1]: =evalf(Function_D): Point_P[1]: =P_Ravnoves+1: for t from 2 by 1 to N do P: ='P': P[t]: =fsolve(Function_S[2]=Q[t-1], P=0..infinity); Point[t]: =P[t]; P: =P[t]; Q[t]: =Function_D; Point_Q[t]: =Q[t]; end do: [> t: ='t': Points_P: =[[t, Point_P[t]] $t=1..N]; Points_Q: =[[t, Point_Q[t]] $t=1..N]; [> plot(Points_P, i=1..N, style=line, thickness=4, color=black, view=[1..N, P_Ravnoves-0.5..P_Ravnoves+2]); plot(Points_Q, i=1..N, style=line, thickness=4, color=black, view=[1..N, Q_Ravnoves-4..Q_Ravnoves+4]);