Примеры. 1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.

1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.

Решение. Из условия задачи 2 с =8, 2 а =10, следовательно:

с =4, а =5, b ²= a²-c² =25-16=9 и уравнение эллипса:

2. Определить фокусы и эксцентриситет эллипса:

Решение. Из уравнения эллипса находим оси эллипса: а =5, b =13. Так как b> a, эллипс вытянут вдоль оси Y. И фокусы расположены на оси Y. Фокусное расстояние с связано с осями эллипса соотношениями: b²=a²-c² для эллипса, вытянутого вдоль оси Х, и а²=b² - c ² для эллипса, вытянутого вдоль оси Y. Отсюда с²=b²-a² =169-25=144, то есть

и координаты фокусов; F₁(0, -12), F₂(0, 12).

3. Выберите произвольную точку на эллипсе и укажите симметричные ей точки относительно осей и начала координат. Принадлежат ли они эллипсу?

Решение. Пусть (х_0, у₀) - точка, лежащая на эллипсе. Симметричная ей точка относительно оси Y (- х_0, у₀), относительно оси Х (х₀, -у₀), относительно начала координат (- х_0, -у₀). Они тоже лежат на эллипсе, так как в уравнении эллипса содержатся только квадраты координат, а координаты симметричных точек отличаются только знаком. Чтобы подобрать координаты конкретной точки, лежащей на эллипсе, надо взять любое значение х < 5, например, х =3, подставить это значение в уравнение эллипса и определить 2 значения у, соответствующих этому значению х: