Поверхности второго порядка в пространстве

В двумерном пространстве, в котором введена прямоугольная декартова система координат, для каждой точки М плоскости определены ее координаты х и у. Переход в трехмерное пространство добавляет еще одно измерение, положение точек пространства определяется 3-мя координатами - х, у и z.

В пространстве, кроме линий, появляются новые объекты – поверхности.

Рассмотрим уравнение F(x, y, z) =0 с тремя переменными. Точки пространства, координаты х, у и z которых удовлетворяют данному уравнению, составят некоторую поверхность. Например. В декартовых прямоугольных координатах уравнение x²+y²+z² =1 определяет сферу радиуса единица с центром в начале координат. Все ее точки удовлетворяют этому уравнению и только они. Всякая линия в пространстве может быть задана, как пересечение 2-х поверхностей, то есть системой из 2-х уравнений:

Например, пересечение сферы x²+y²+z² =1 с плоскостью z=h (h < 1) кривая, которая задается системой из 2-х уравнений:

x²+y²+z² =1

z=h

Решением этой системы является уравнение x²+y²= 1 -h², то есть уравнение окружности. Для исследования формы поверхности мы применили так называемый метод параллельных сечений, когда рассматривают линии пересечения поверхности с координатными плоскостями и с плоскостями, параллельными координатным. Например, плоскость, параллельная координатной плоскости XOY, имеет уравнение z=h, где h - некоторая постоянная. В этой плоскости значение координаты z фиксировано (z=h) и текущими являются координаты x и y. Уравнение линии пересечения поверхности F(x, y, z) =0 и плоскости z=h имеет вид: F(x, y, h) =0. Проводя такие построения для различных значений h, получаем семейство линий, по виду которых можно представить вид исследуемой поверхности.

Не касаясь общей теории поверхностей второго порядка, коротко перечислим некоторые из них. Так как нам важны геометрические свойства, которые не зависят от выбора системы координат, будем рассматривать уравнения в канонической форме.