Примеры. 1. - I замечательный предел.

1. - I замечательный предел.

Этот предел означает, что при достаточно малых х sin x и х эквивалентны друг другу (напомним, что х – это величина угла, выраженная в радианах) (рис. 1). Это записывают так: sinx~ х

Смысл I-го замечательного предела состоит в том, что если центральный угол a_рад окружности единичного радиуса мал, то длина а полухорды, стягивающей этот угол, и длина дуги s, на которую угол опирается (рис.2), - величины эквивалентные. Действительно, величина угла в радианах – это и есть длина дуги окружности единичного радиуса, на которую угол опирается. А длина полухорды a =sina). Длину окружности L и вычисляют, как предел периметров вписанных n-угольников, когда число сторон n стремится к бесконечности. Если n велико, то a_n мало и выполняется sina_n/2~a_n/2 и a_n ~2Ra_n/2=Ra_n=s. Если L_n периметр многоугольника, то L_n=n a_n ®L.

Алгоритм предельного перехода применяется и для определения площади круга. Площадь круга S есть предел площадей n-угольников S_n. S_n складывается из площадей n треугольников равной площади s, вершиной которых является центр окружности, а основанием – сторона многоугольника (рис. 3). По формуле для вычисления площади треугольника получаем s_n=1/2Ra_n.

S_n=ns_n=n× 1/2R a _n=1/2RL_n®1/2RL=1/2R× 2pR=pR²

Архимед за 2тыс. лет до трудов Лейбница и Ньютона об исчислении бесконечно малых, определивших последующее развитие методов математического анализа в Европе, для определения значения числа p применил идею предельного перехода. Он вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников от 6-ти до 96-ти угольника и определил очень узкие пределы для числа p: .

2. или -

II замечательный предел. Этот предел мы уже рассматривали, когда делали оценки величины наращенного вклада, когда число периодов начисления процентов по вкладу велико.