Примеры. 1. y=kx. Возьмем произвольную точку х, и найдем значение соответствующего предела:

1. y=kx. Возьмем произвольную точку х, и найдем значение соответствующего предела:

2. у=х ².

Геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой f(x) в точке х _0, есть f'(x₀) (рис. 11) и, следовательно, уравнение касательной к графику в точке М_0, имеет вид:

y-y₀=k(x-x₀)=f'(x₀)(x-x₀).

Если вычислять производную в различных значениях х, принадлежащих некоторому множеству, например, отрезку [ a, b ], то величина ее будет зависеть от значения х. Тем самым, можно говорить о производной функции, определенной на этом множестве. Производную функции обозначают f'(x).

Если функция в некоторой точке х₀ имеет производную, то она в этой точке непрерывна. Это следует из соотношения:

Отсюда D у~f'(x₀) D x и D у ®0 при D х ®0, то есть:

f(x₀ +D x)® f(x₀) (D х ®0). Это же соотношение можно переписать так:

f(x₀+ D x)- f(x₀)~f'(x₀) D x, или f(x₀ +D x)~f(x₀)+f'(x₀) D x

Линейная часть приращения функции, выражающаяся через производную, называется дифференциалом функции. Он обозначается dy. Полное приращение D у в точках, в которых существует производная, можно представить в виде: D у=f(x +D x)-f(x)=f'(x) D x+a( D x), где a (D х)< < D x (< < означает много меньше).

dy=f'(x) D x=f'(x)dx (D x=dx - дифференциал аргумента равен приращению аргумента).