Проекции и конические сечения

Изображение предмета на плоскости (на листе бумаги) называется проекцией его на эту плоскость, а процесс получения проекций – проецированием. Параллельное проецирование осуществляют с помощью пучка параллельных прямых. Если плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, то ее проекция равна первоначальной фигуре. На рисунке 16 показана параллельная проекция прямоугольника на плоскости. Ни размер, ни форма объекта не искажены. При выходе в пространство параллельная проекция окружности на плоскость, параллельную плоскости окружности, сохраняет форму окружности (рис. 17), а если проектировать окружность на не параллельную плоскость, то проекцией окружности будет эллипс (рис. 18).

Для построения изображения, передающего пространственный объект так, как мы его видим глазами, применяется центральная проекция. Центральная проекция искажает действительные размеры и пропорции – на картинах и на фотографиях прямые углы перестают быть прямыми, а параллельные линии параллельными. Мы коснемся только одного вопроса – построения центральной проекции окружности, так как центральной проекцией окружности всегда является коническое сечение.

Сущность центрального проецирования состоит в следующем. Пусть дана плоскость проекций П (картинная плоскость, на которой должно быть получено изображение) и центр проекции S. Для того, чтобы получить на плоскости П изображение некоторой линии (в нашем случае окружности), соединим каждую точку линии лучом с центром проекции S. И продолжим этот луч до пересечения с плоскостью П. Совокупность всех этих точек пересечения и есть центральная проекция линии на плоскость П. Таким образом, центральная проекция строится с помощью конуса (вообще говоря, не прямого). Центр проекции S является вершиной конуса. Проецирующие прямые, выходящие из центра проекции, - образующие конуса. Плоскость проекции - секущая плоскость и от взаимного расположения центра проекции S, плоскости П₁, в которой расположена линия, и плоскости проекции П будет зависеть вид проекции линии. Например, если плоскости П и П₁ параллельны, проекцией окружности будет снова окружность (они обе будут параллельными сечениями косого кругового конуса). Если не параллельны, окружность обратится в эллипс, параболу или гиперболу, как мы уже видели выше (рис. 19).