Основные методы вычисления неопределенных интегралов

1) Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в разложении интеграла на алгебраическую сумму интегралов, сводящихся к основным.

Пример 1. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение:

а) Воспользуемся четвертым свойством интегралов и разложим данный интеграл на алгебраическую сумму интегралов:

Вычислим каждый интеграл по отдельности. При вычислении 1 и второго интеграла вынесем множитель за знак интеграла. Первый интеграл вычисли по формуле 8, второй по свойству 2, третий по формуле 15 (при а =2):

б) Для разложения интеграла на алгебраическую сумма необходимо разделить числитель и знаменатель на х:

2) Метод подстановки (замены переменной)

Метод подстановки заключается в замене переменной интегрирования. При этом следует учесть, что переменную интегрирования необходимо заменить и под дифференциалом.

Пример 2. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Произведем замену . Тогда ,

Преобразуем интеграл и вычислим его аналогично примеру 1б:

выполним обратную замену

б) Положим . Далее можно вычислять аналогично предыдущему примеру, но такие вычисления будут достаточно громоздки. Заметим, что , тогда

в) Возьмем за новую переменную тригонометрическую функцию, находящуюся в пятой (не первой) степени: . Найдем дифференциал новой переменной: , тогда

3) Интегрирование по частям

Интегрирование по частям выполнятся по формуле:

Пример 3. Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение:

а) Положим:

Применим формулу:

Получившийся интеграл решается аналогично примеру 2б ():

, тогда

б) Положим: , тогда

в)