Геометрический смысл определенного интеграла

Фигура, ограниченная графиком непрерывной и положительной на отрезке функции , прямыми х=а, х= b и осью ОХ называется криволинейной трапецией.

ТЕОРЕМА (геометрический смысл ОИ): Площадь криволинейной трапеции равна

Кроме нахождения площади криволинейной трапеции геометрический смысл ОИ позволяет находить и площади других фигур

Фигура	Площадь

Пример 7. Найти площади, ограниченные:

а) графиком функции , прямыми , и осью ОХ;

б) графиком функции , прямыми , и осью ОХ.

в) графиком функции , прямыми , и осью ОХ;

г) графиками функций и

Решение:

а) Для определения формулы, по которой будем вычислять площадь, необходимо построить график функции на заданном отрезке:

По графику видно, что фигура, площадь которой необходимо найти, является криволинейной трапецией, а значит ее площадь будет равна:

б) Так как фигура находится ниже оси ОХ, то ее площадь будет равна:

в) Фигура состоит из двух частей: одна находится выше оси ОХ, другая – ниже. Значит искомая площадь будет равна: по 5 свойству определенных интегралов данный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: данная функции на отрезке интегрирования первого интеграла принимает отрицательные значения, поэтом модуль раскроется со знаком минус, аналогичными рассуждениями заключаем, что модуль второго интеграла раскроется со знаком плюс:

г)

Фигура, заключена между двумя графиками, поэтому ее площадь будет равна: