Геометрический и физический смыслы производной

Геометрический смысл производной: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, тогда значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x₀, выглядит следующим образом: .

Пример1. Найти угловой коэффициент и уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке x₀=1.

Решение:

Для начала найдем производную функции .

Угловой коэффициент будет равен значению производной в точке x₀=1:

Для составления уравнения касательной найдем значение функции в точке x₀:

Составим уравнение касательной: . Преобразовав выражение, получим искомое уравнение: .

Ответ: , .

Физический смысл производной: Пусть функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, тогда значение производной функции в точке x₀ равно мгновенной скорости точки в момент времени x₀. Значение второй производной функции в точке x₀ равно ускорению точки в момент времени x₀.

Пример 2. Пусть движение материальной точки описывается уравнением . Найти мгновенную скорость и ускорение после 2 секунд после начала движения.

Решение: Для нахождения мгновенной скорости найдем значение производной функции в точке :

(м/с).

Для нахождения ускорения найдем значение второй производной в точке :

.

Ответ: (м/с), .