Производная частного функций

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Рассмотрим функцию. Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь… С чего бы начать?! В любом случае для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель в числители, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Смотрим на выражение в скобках. Здесь есть сложение, вычитание и деление. Со школы известно, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это можно сделаем устно:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают алгебраическими методами:

Иногда можно встретить хитрые задачки. Смотрим следующий пример.

Пример 7. Найти производную функции .

Решение. Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее. Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.

Теперь дифференцировать просто. Используем первое и второе правила.