Вычисление производных сложных функций

Дифференцирования сложной функции: .

Обратим внимание на запись . Здесь две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию будем называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения «внешняя» функция, «внутренняя» функция являются неформальны и применяются только для того, чтобы легче было понять материал.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Под синусом находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть сумма, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя.

В данном примере функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а тригонометрическая функция синус – внешней функцией.

Первое, что необходимо сделать при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В данном простом примере понятно, что под синус вложен многочлен . В том случае, когда нет очевидности как функция внутренняя, а какая внешняя, можно использовать следующий прием.

Представим, что нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что необходимо вычислить в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией . Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией .

После того, как разобрались с внутренней и внешней функциями применяем правило дифференцирования сложной функции .

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция =9x+6 не изменилась.

Очевидно, что

Результат в чистовом оформлении выглядит так:

Далее берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен и есть внутренняя функция. И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция. Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Когда находим производную от внешней функции , внутренняя функция не меняется. Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции.

Пример 3. Найти производную функции а) ; б)