Асимптоты

При х→ + ∞, х→ - ∞ или вблизи точек разрыва 2-го рода график функции может сколь угодно близко приближается к какой-либо прямой. Такие прямые называются асимптотами.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов этой функции в точке а равен +∞ или -∞.

Можно заметить, что для нахождения вертикальных асимптот достаточной найти точки разрыва 2-го рода. Если функция имеет точку разрыва в точке а, то - вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота графика функции у=f(х) находится в виде у=кх+b, где

,

Заметим, что если хотя бы один из коэффициентов к или b будет равен бесконечности, то можно сделать вывод, что наклонных асимптот нет.

Если к=0, то вертикальная асимптота запишется в виде у=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Пример 3. Найти асимптоты функции

Решение:

Очевидно, что точка будет точкой разрыва второго рода, а значит прямая будет вертикальной асимптотой графика функции.

Проверим, будет ли функция иметь наклонные асимптоты:

;

Значит прямая - наклонная асимптота графика функции.