Математика. I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой 97 страница

Одной из центральных проблем М. к. является задача построения наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. проекций, в к-рых искажения в к.-л. смысле сведены к минимуму. Она полностью ещё не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями этой задачи занимались многие известные учёные (Л. Эйлер, К. Гаусс, П. Л. Чебышев и др.). Проблема ставится двояко: для заданной области изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества проекций (идеальные проекции), либо из определённого класса (наилучшие проекции класса). В обоих случаях задача с математич. точки зрения обращается в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют различные постановки: обращаясь, напр., к теории наилучших приближений, говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографич. проекций приводит к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и др. До конца исследован лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева - Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области является та, крайняя изокола в к-рой совпадает с контуром изображаемой территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезич. линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого (но и важного для практики) среди всех др. классов. Примером чебышевской проекции является стереографич. проекция, к-рая при изображении на плоскости сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева - Граве справедлива для ряда нек-рых др. классов проекций, неконформных, но эллиптич. типа.

Лит.: Соловьёв М. Д., Математическая картография, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии, " Тр. Новосибирского ин-та инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии", 1967, т. 20; К а в р ай с кий В. В., Современные задачи математической картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных карт, " Геодезия и картография", 1958, N° 12; Павлов А. А., Математическая картография, в сб.: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972, с. 53-66. Г.А.Мещеряков.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА, математическая дисциплина, разрабатывающая формальный аппарат для описания строения естественных и нек-рых искусственных языков. Возникла в 50-х гг. 20 в. в связи с назревшей в языкознании потребностью уточнения его осн. понятий. В М. л. используются по преимуществу идеи и методы алгебры, .алгоритмов теории и автоматов теории. Не являясь частью лингвистики, М. л. развивается в тесном взаимодействии с ней. М. л. называют иногда лингвистич. исследования, в к-рых применяется к.-л. математич. аппарат.

Математич. описание языка основано на восходящем к Ф. де Соссюру представлении о языке как механизме, функционирование к-рого проявляется в речевой деятельности его носителей; её результатом являются «правильные тексты» - последовательности речевых единиц, подчиняющиеся определённым закономерностям, мн. из к-рых допускают математич. описание. Изучение способов математич. описания правильных текстов (в первую очередь предложений) составляет содержание одного из разделов М. л. - теории способов описания синтаксической структу-р ы. Для описания строения (синтак-сич. структуры) предложения можно либо выделить в нём «составляющие» -группы слов, функционирующие как цельные синтаксические единицы, либо указать для каждого слова те слова, к-рые от него непосредственно зависят (если такие есть). Так, в предложении «Лошади кушают овёс» при описании по 1-му способу составляющими будут: всё предложение /, каждое отд. слово и словосочетание С = «кушают овёс» (рис. 1; стрелки означают «непосредственное вложение»); описание по 2-му способу даёт схему, показанную на рис. 2
[ris]
. Математические объекты, возникающие при таком описании структуры предложения, наз. деревом составляющих (1-й способ) и деревом синтаксического подчинения (2-й способ).

[ris]

Другой раздел М. л., занимающий в ней центр, место, - теория формальных грамматик, возникшая гл. обр. благодаря работам Н. Хамского. Она изучает способы описания закономерностей, к-рые характеризуют уже не отд. текст, а всю совокупность правильных текстов того или иного языка. Эти закономерности описываются путём построения «формальной грамматики» -абстрактного «механизма», позволяющего с помощью единообразной процедуры получать правильные тексты данного языка вместе с описаниями их структуры. Наиболее широко используемый тип формальной грамматики — т. н. порождающая грамматика, или грамматика Хомского, - упорядоченная система Г = < V, W, I, R>, где: V и W — непересекающиеся конечные множества; I — элемент W; R — конеч-

ное множество правил вида y -> ф, где y и ф - цепочки (конечные последовательности) элементов V и W. Если y -> ф -правило грамматики Г и w₁, w₂, - цепочки из элементов V и W, то говорят, что цепочка w₁ ф w₂ непосредственно выводима в Г из w₁ y w₂. Если E₀, E₁,..., E_n - цепочки и для каждого i = 1,..., п цепочка E₁ непосредственно выводима из E_i-1, то говорят, что E_n выводима из E₀ в Г. Множество цепочек из элементов V, выводимых в Г из 1, наз. языком, порождаемым грамматикой Г. Если все правила грамматики Г имеют вид А -> ф, где А — элемент W, Г называется бесконтекстной, или контекстно-свободной. В лингвистич. интерпретации элементы V чаще всего представляют собой слова, элементы W — символы грамматич. категорий, I — символ категории «предложение». В бесконтекстной грамматике вывод предложения даёт для него дерево составляющих, в к-ром каждая составляющая состоит из слов, «происходящих» от одного элемента W, так что для каждой составляющей указывается её грамматич. категория. Так, если грамматика имеет в числе прочих правила I -> S_x, у, им V_y,

V_y -> V^t_ySx, у' вин, S _муж, ед, вин -> овёс, S_жен, мн, им-> лошади, V^t_мн -> кушают, где V_y означает категорию «группа глагола в числе у», V^t_y - «переходный глагол в числе у», S_{x, y, z -} " существительное рода х в числе у и падеже Z", то приведённое выше предложение имеет вывод, показанный на рис. 3, где стрелки идут из левых частей применяемых правил к элементам соответствующих правых частей.
[ris]

Формальные грамматики используются для описания не только естественных, но и искусственных языков, в особенности языков программирования.

М. л. изучает также аналитические модели языка, в к-рых на основе тех или иных данных о речи, считающихся известными (напр., множества правильных предложений), производятся формальные построения, дающие нек-рые сведения о структуре языка. Приложение методов М. л. к конкретным языкам относится к области лингвистики (см. Языкознание).

Лит.: Хомский Н., Синтаксические структуры, в сб.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962; Гладкий А. В.. Мельчук И. А., Элементы математической лингвистики, М., 1969; Маркус С., Теоретико-множественные модели языков, пер. с англ., М., 1970; Гладкий А, В., Формальные грамматики и языки, М., 1973. А. В. Гладкий.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, логи ка, развиваемая математич. методом. Характерным для М. л. является использование формальных языков с точным синтаксисом и чёткой семантикой, однозначно определяющими понимание формул. Потребность в такой логике выявилась в нач. 20 в. в связи с интенсивной разработкой оснований математики, возникновением множеств теории, где были открыты антиномии (см. Парадокс), уточнением понятия алгоритма и др. глубокими и принципиальными вопросами математической науки. Однако значение М. л. для науки в целом не исчерпывается её математич. приложениями, поскольку хорошо рассуждать и доказывать приходится во всех науках. Вот почему М. л. с полным правом может быть охарактеризована как логика на совр. этапе. См. ст. Логика (раздел Предмет и метод современной логики) и лит. при этой статье. А.А.Марков.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, приближённое описание какого-либо класса явлений внеш. мира, выраженное с помощью математич. символики. М. м.- мощный метод познания внеш. мира, а также прогнозирования и управления. Анализ М. м. позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математич. моделирования, т. е. изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математич. терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап - исследование математич. задач, к к-рым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математич. аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислит, техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математич. задач. Часто математич. задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (напр., основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математич. задачи как самостоят, объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений стеоретич. следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы, - то определение уклонений теоретич. следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели нек-рые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в к-рых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, наз. обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении М. м., является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Т. о., первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями - " аксиомами" - гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2 в. н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математич.) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (нач. 17 в.), к-рый сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематич. описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона, предложившего во 2-й пол. 17 в. динамич. модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамич. модель согласуется с кинематич. моделью, предложенной Кеплером, т. к. из динамич. системы двух тел " Солнце - планета" следуют законы Кеплера.

К 40-м гг. 19 в. выводы динамич. модели, объектами к-рой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверъе в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетич. планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретич. и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

Метод математич. моделирования, сводящий исследование явлений внеш. мира к математич. задачам, занимает ведущее место среди др. методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технич. средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления. А. Н. Тихонов.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, раздел математики, посвящённый математич. методам систематизации, обработки и использования статистических данных для науч. и практич. выводов. При этом статистич. данными наз. сведения о числе объектов в к.-л. более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные табл. 1а и 2а).

Предмет и метод математической статистики. Статистич. описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отд. объекты, - с другой. По сравнению с первым способом статистич. данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (напр., учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворит. оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистич. данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Напр., данные грану ломет-рич. анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнит, информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в нек-рой мере объяснить свойства породы, условия её образования и пр.

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистич. данных о тех или иных совокупностях объектов, наз. статистическим. Статистич. метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистич. метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, напр., социально-экономич. статистику, физич. статистику (см. Статистическая физика), звёздную статистику и т. п. в одну науку.

Общие черты статистич. метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистич. методов исследования, безразличная к специфич. природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.

Связь математической статистики с тeoрией вероятностей. Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Вероятностей теория изучает не любые явления, а явления случайные и именно -" вероятностно случайные", т. е. такие, для к-рых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее теория вероятностей играет определённую роль и при статистич. изучении массовых явлений любой природы, к-рые могут не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода и теорию ошибок измерений (см. Ошибок теория). В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приёмы их исследования.

Т абл. 1 а. - Распределение диаметра детали в мм, обнаруженное при статистическом исследовании массовой _ продукции (объяснение обозначений х, S, s см. на стр. 482).

Табл. 16. - Распределение диаметра детали основной выборки (из табл. 1а) при более крупных интервалах группировки

Более важную роль играет теория вероятностей при статистич. исследовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы М. с., как теория статистич. проверки вероятностных гипотез, теория статистич. оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистич. методов значительно уже, т. к. здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определённым вероятностным закономерностям. Напр., статистич. изучение режима турбулентных водных потоков или флюктуации в радиоприёмных устройствах производится на основе теории стационарных случайных процессов. Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течение длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.

Вероятностные закономерности получают статистич. выражение (вероятности осуществляются приближённо в виде частот, а математические ожидания - в виде средних) в силу больших чисел закона.

Простейшие приёмы статистического описания. Изучаемая совокупность из п объектов может по к.-л. качественному признаку А разбиваться на классы A₁, А₂,..., А_r. Соответствующее этому разбиению статистическое распределение задаётся при помощи указания численностей (частот) n₁, п_г,..., n_r .

Напр., в первом столбце табл. 1а даны результаты измерения 200 диаметров деталей, группированные по интервалам дл. 0, 05 мм. Основная выборка соответствует нормальному ходу технологич. процесса. 1-я, 2-я и 3-я выборки сделаны через нек-рые промежутки времени для проверки устойчивости этого нормального хода производства. В табл. 16 результаты измерения деталей основной выборки даны при группировке по интервалам дл. 0, 25 мм.

Обычно группировка по 10-20 интервалам, в каждый из к-рых попадает не более 15-20% значений xt, оказывается достаточной для довольно полного выявления всех существенных свойств распределения и надёжного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения (см. о них ниже). Составленная по таким группированным данным гистограмма наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на основе группировки с маленькими интервалами, обычно многовершинная и не отражает наглядно существенных свойств распределения.

В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров, соответствующая данным первого столбца табл. 1а, а на рис. 3 - гистограмма того же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду её громоздкости) при интервале 0, 01 мм. С другой стороны, группировка по слишком крупным интервалам может привести к потере ясного представления о характере распределения и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик распределения (см. табл. 16 и соответствующую гистограмму на рис. 2).

Рис. 1. Гистограмма распределения диа-i метров 200 деталей. Длина интервала группировки 0, 05 мм.

Рис. 2. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0, 25 мм.

Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0, 01 мм.

В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рассмотрен только с формальной стороны: полноты математич. описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и т. д. О группировке, имеющей целью выделить качественно различные группы в изучаемой совокупности, см. Статистические группировки. При изучении совместного распределения двух признаков пользуются таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух качеств, признаков может служить таблица 2а. В общем случае, когда по признаку А материал разбит на классы A₁, А₂,..., А_r, а по признаку В - на классы B₁, B₂, -.., B_s таблица состоит из численностей n_ij объектов, принадлежащих одновременно классам A_i и B_j. Суммируя их по формулам
[ris]
получают численности самих классов A_i и B_j; очевидно, что
[ris]
где п - численность всей изучаемой совокупности. В зависимости от целей дальнейшего исследования вычисляют те или иные из относительных частот
[ris]

Напр., при изучении влияния вдыхания сыворотки на заболевание гриппом по табл. 2а естественно вычислить относительные частоты, данные в табл. 26.

Табл. 2 а. - Распределение заболевших и не заболевших гриппом среди работников Центрального универмага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших противогриппозную сыворотку (1939)

Табл. 2б. - Относительные частоты (соответствующие данным табл. 2а)

Пример таблицы для совместного распределения двух количеств, признаков см. в статье Корреляция. Табл. 1а служит примером смешанного случая: материал группируется по одному качеств, признаку (принадлежность к основной выборке, произведённой для определения среднего уровня производств, процесса, и к трём выборкам, произведённым в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количеств, признаку (диаметр деталей).

Простейшими сводными характеристиками распределения одного количеств, признака являются среднее
[ris]
и среднее квадратичное отклонение
[ris]
При вычислении х, S² и D по группированным данным пользуются формулами
[ris]
где т - число интервалов группировки, а_к - их середины (в случае табл. 1а - 13, 07; 13, 12; 13, 17; 13, 22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком крупным интервалам, то такой подсчёт даёт слишком грубые результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным поправкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполнения определённых вероятностных предположений.

О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция, Корреляционный анализ, Регрессия, Регрессионный анализ.

Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез. Выше были изложены лишь нек-рые избранные простейшие приёмы статистич. описания, представляющего собой довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приёмы статистич. описания интересны, однако не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистич. материала выводов о закономерностях, к-рым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отд. случае к тем или иным наблюдённым статистич. распределениям.

Напр., данные, приведённые в табл. 2а, естественно связать с такой теоретич. схемой. Заболевание гриппом каждого отд. работника универмага следует считать случайным событием, т. к. общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь нек-рую вероятность заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (p ₁) и для не вдыхавших (р₀), судя по статистич. данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что p₁ существенно меньше р_о. Перед М. с. возникает задача: по наблюдённым частотам h₁ = 4/501 ~ 0, 008 и h_o = 150/1825 ~ 0, 082 оценить вероятности р₁ и р₀ и проверить, достаточен ли статистич. материал для того, чтобы считать установленным, что p₁ < р_o (т. е. что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных табл. 2а достаточно убедителен и без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.